Mathematics économique

Parmi les sciences sociales, l’économie est celle qui, de loin, utilise le plus les mathématiques. Ce qui s’explique aisément : l’économiste s’intéresse à la production et à la répartition des ressources dont dispose la société. D’où de multiples opérations chiffrées, avec des quantités de biens, des prix et des valeurs. L’activité de l’économiste va de calculs relativement simples comme ceux faits en comptabilité et en calcul actuariel à ceux, plus compliqués, qui ont trait à la recherche d’une affectation efficace des ressources. Les mathématiques fournissent alors des outils qui peuvent aider à parvenir à un objectif défini – le profit de certains ou le bien être de la collectivité, par exemple – ou à extraire de l’information à partir des données disponibles, en mobilisant des techniques comme l’analyse factorielle ou l’analyse discriminante.

Le débat à propos du rôle des mathématiques en économie ne porte pas, en fait, sur leur utilisation en tant que moyen de gestion efficace des ressources ou de traitement des données, mais sur les théories qui font appel à elles pour expliquer divers aspects de la vie économique et, si possible, faire des prédictions. Les théories donnent lieu alors à des modèles qui prennent la forme d’un ensemble d’hypothèses – ou d’ « axiomes » – dont sont déduits des théorèmes ou des résultats mathématiques, que l’économiste transcrit dans son langage et interprète. Le choix des axiomes joue donc un rôle décisif dans la formulation des modèles, puisqu’il détermine le type et la signification des résultats qui peuvent être obtenus. Ce choix dépend fondamentalement de la « vision du monde » du théoricien – c’est-à-dire, de la façon dont il conçoit la société et les relations entre ses membres. Il n’est d’ailleurs pas sans conséquence sur le type de mathématiques utilisées dans la modélisation.

Visions du monde et modèles

Toute société est, par définition, formée par un ensemble d’individus. Mais tout ensemble d’individus ne forme pas une société. Celle-ci est généralement stratifiée et régie par des règles, des coutumes ou des conventions. Deux attitudes sont donc possibles lorsqu’on veut étudier des phénomènes sociaux : soit prendre pour point de départ l’individu et ses choix, dans un contexte ad hoc, le plus simple possible, soit préciser d’abord ce contexte, dans le temps et l’espace, puis étudier comment les choix individuels s’y insèrent. La première attitude est celle qu’adopte la théorie économique dominante, dite « néoclassique », dans le cadre de ce qu’on a coutume d’appeler la « microéconomie ». La deuxième attitude est celle de Smith, Ricardo et Marx, entre autres, mais aussi de Keynes et de ce qu’on appelle la « macroéconomie ».

On va s’intéresser ici tout particulièrement à la première d’entre elles, la vision du monde néoclassique, qui prétend fonder sa légitimité par une utilisation intensive des mathématiques. Les individus, souvent appelés « agents », lui servent donc de point de départ. Elle commence en réalité par les diviser en deux grandes catégories : les consommateurs (ou « ménages ») et les producteurs (ou « entreprises »)[1]. Elle les caractérise ensuite par un certain nombre de traits – psychologiques pour les premiers, techniques de production disponibles pour les seconds – qui peuvent avoir une traduction mathématique. Celle-ci demande beaucoup d’efforts pour le non initié, qui doit ingurgiter un langage, des concepts et des symboles nouveaux pour lui (relation de préférence, courbe d’indifférence, taux de substitution, ensemble de production, convexité, etc.). L’image de Robinson Crusoe est alors souvent mobilisée à ce stade, notamment dans les présentations pédagogiques de la théorie néoclassique, car elle permet de s’en tenir aux seules caractéristiques des individus, en dehors de toute contrainte sociale.

L’étape suivante consiste à introduire l’échange, qui est l’objet d’étude propre à l’économie. Elle consiste, si on s’en tient aux préceptes de l’individualisme méthodologique, à envisager une situation où plusieurs Robinsons se retrouvent ensemble et cherchent à faire des échanges, en vue d’augmenter leur satisfaction. Ils vont donc, dans cette perspective, marchander entre eux. Cependant, le résultat du processus mis ainsi en marche est indéterminé, puisqu’il dépend du pouvoir de marchandage de chacun et de l’ordre de rencontre des uns et des autres. Conscients que cela ne les menait nulle part, les théoriciens néoclassiques n’ont pas poursuivi dans cette direction. Ils ont opté pour la solution consistant à intégrer dans le modèle des règles et des formes d’organisation des échanges qui évitent d’avoir à faire face à des situations de marchandage. C’est alors qu’est introduite l’idée de marché.

De l’individu au marché

Pour sortir de l’impasse consistant à envisager la société comme un ensemble d’individus livrés à un marchandage généralisé, les néoclassiques vont donc introduire « le marché ». Pas celui auquel on songe spontanément, où chacun achète ou vend ce qu’il veut, en fonctions des prix – qu’il propose, accepte ou négocie, selon le cas. Parce que le faire impliquerait de retomber dans l’indétermination propre à tout marchandage. Le marché est donc présenté comme une sorte de personnage, qui impose ses prix à tous et les modifie selon la « loi de l’offre et de la demande ». Si on veut utiliser les mathématiques, il faut préciser tout cela. C’est ce que fait le modèle fétiche des néoclassiques – le modèle dit « de concurrence parfaite » qui postule que les prix des biens sont donnés et que les agents établissent leurs offres et leurs demandes en croyant qu’ils peuvent vendre ou acheter tout ce qu’il veulent à ces prix. Ce qu’on résume souvent en disant que les entreprises et les ménages sont « preneurs de prix ».

Cette hypothèse étant faite, le mathématicien peut entrer en action : il se donne un ensemble quelconque de prix, noté P, et s’intéresse, pour chaque consommateur, au panier de biens qui maximise sa satisfaction (sa « fonction d’utilité ») et pour chaque entreprise, au panier d’entrants (inputs) qui maximise son profit. Le terrain lui est familier : c’est celui de la recherche du maximum d’une fonction, dont les variables peuvent être soumises à des contraintes. Ce maximum ne peut en réalité être calculé, puisque les fonctions à maximiser, comme

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