Mathematics Exercice

Exercice 1 : N°81 page 73

Partie A :

1. On a F Î[CD] , avec CD=5 et DF = x . On en déduit que

xÎ[0;5]

2.

a. On a DF = DE = x et DEF rectangle en D, donc d’après

le théorème de Pythagore EF = f ( x) = x 2 (car x > 0 )

b. On a BCF rectangle en C, avec CF = 5 − x et BC = 5 ,

d’où BF = (5 − x) ² + 25 . En développant sous la racine

on obtient g ( x) = 50 −10x + x²

3.

a. voir figure

b. D’après le graphique, BEF est équilatéral pour x » 3,7 et

dans ce cas EF » 5,2

Partie B :

a. D’après la partie précédente, BEF est équilatéral lorsque f ( x) = g ( x) , or ces deux fonctions représentent

des longueurs, elles sont donc positives, d’où f ( x) = g ( x) équivaut à f ( x) ² = g ( x) ² , soit

2x² = 50 −10x + x² (E)

b. (E) équivaut à x² −50 +10x = 0 soit ( x + 5) ² − 25 − 50 = 0 ou encore ( x + 5) ² = 75

c. On reconnaît une différence de carrés : ( x + 5) ² − 75 = ( x + 5 − 5 3)(x + 5 + 5 3) , donc (E) équivaut à

( x + 5 −5 3)( x + 5 + 5 3) = 0 , soit x = 5 3 − 5 (on choisit la solution positive). (On a bien

5 3 − 5 » 3,7 ). Dans ce cas EF = f (5 3 − 5) = 2 (5 3 − 5) . (On a bien 2 (5 3 − 5) » 5,2 ).

Partie C :

1. Les triangles EDF et BEF sont isocèles de même base [EF], or dans un triangle isocèle la bissectrice de

l’angle au sommet est la médiatrice de la base, d’où le résultat. Pour tracer EBF équilatéral il faut donc

tracer l’angle

DBF = 30° puis de compléter par symétrie.

2.

a. Comme

DBC = 45° , on aura

CBF =15°

b. Dans le triangle rectangle BCF, on a

cos

BC

CBF

BF

= , soit

5

cos

BF

CBF

=

c. On en déduit ( ) 5

5 3 5

cos15

f

...