Loi exponentielle et loi poisson
Cours : Loi exponentielle et loi poisson. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Romain Legrand • 27 Mars 2017 • Cours • 290 Mots (2 Pages) • 1 520 Vues
Loi exponentielle et loi poisson
I / Loi exponentielle
Définition : La loi exponentielle de paramètre λ >0 est une loi de densité dont la fonciton de densité est λe-λt où t >0
f(t)=0.02e-0.02t
f '(t) =0.02 * (-0.02) e-0.02t = -0.00004 e-0.02t
II / Calcule d'une probabilité
P(X <= a ) = [pic 1]
P(a<= X <= b ) = [pic 2]
III / Esperance mathématique - variance - écart type
E(x) = 1 / λ
V(x) = 1/λ²
σ(x) = 1/λ
IV / Fiabilité et défaillance
La fiabilité d'un appareil est la probabilité que cet appareil ne tombe pas en panne avant un instant T.
On note R(t) la fonction de fiabilité
Soit T une variable aléatoire qui étudie le temps t
R(t) = p(T>t)=e-λt
T suit une loi exponentielle de paramètre λ
La fonction de défaillance se note F(t) = 1-R(t)
F(t) = p(T<=t) = 1 - e-λt
Temps moyen de bon fonctionnement : MTBF
MTBF (x) = 1 / λ
V(x) = 1/λ²
σ(x) = 1/λ
V / Montage en série / Montage ne parallèle
Pour un montage en série, la fonction de fiabilité du système est égale au produit des fonctions de fiabilité de chacun des composants tandis que la défaillance est égale à 1 - R(t)
Pour un montage en //, la fonction de défaillance est égale au produit des fonctions de défaillance de chacun des composants tandis que la fiabilité est égale à 1 -àç² F(t)
VI / Loi de Poisson
1 / Champs d'application
Phénomène imprévisible : le futur est indépendant du passé
Soit X v.a qui suit une de Poisson de paramètre λ réel positif noté P(λ)
Alors X ne prend que des valeur K entier
p(X=K) = (e-λ * λk) / k!
2 / Espérance, variance et σ
E(x) = λ
V(x) = λ
σ = sqrt(λ)
3 / Approximation d'un loi B (n;p) par une loi de Poisson
λ = n*p
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