FRACTIONS RATIONNELLES

FRACTIONS RATIONNELLES

Cours

FRACTIONS RATIONNELLES

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I. GENERALITES

1. Définition

2. Fraction rationnelle irréductible

3. Partie entière d'une fraction rationnelle irréductible 4. Pôle d'une fraction rationnelle irréductible

II. DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES

1. Définition

2. Eléments simples de première espèce

3. Partie principale d'une fraction rationnelle irréductible, relative à un pôle

4. Décomposition d'une fraction rationnelle irréductible en éléments simples de première espèce (décomposition sur C)

5. Décomposition sur R en éléments simples de deuxième espèce III. RESUME

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FRACTIONS RATIONNELLES

I. GENERALITES 1. Définition

np

Soient deux polynômes P(z) = ∑aizi et Q(z) = ∑bizi dont la variable, z, et les i=1 i=1

coefficients, ai , bi , sont réels ou complexes.

Ces deux polynômes définissent une fraction rationnelle que l'on note P(z) .

P(z) est le numérateur, Q(z) est le dénominateur. Exemple: P(z)= z4−z3−z+1

Q(z) z3 − z2 + z−1

2. Fraction rationnelle irréductible

On dit que P(z) est irréductible si P(z) et Q(z) n'ont aucun zéro commun. Q(z)

Exemples : ● z est une fraction rationnelle irréductible z+1

z2

● z(z + 1) est réductible.

Q(z)

Recherche d'une fraction rationnelle irréductible sur un exemple. Soitlafractionrationnelle P(z)= z4−z3−z+1.

Q(z) z3 − z2 + z − 1 On remarque que P(1) = 0 et que Q(1) = 0.

Donc P(z) et Q(z) sont tous les deux divisibles par (z – 1). P(z) = (z −1)(z3 − 1) = z3 − 1 qui est irréductible.

Q(z) (z −1)(z2 + 1) z2 + 1

3. Partie entière d'une fraction rationnelle irréductible

Si l'on effectue la division euclidienne (suivant les puissances décroissantes) de P(z) (dividende) par Q(z) (diviseur) on écrira :

P(z) = Q(z).E(z) + R(z) avec degré[R(z)] < degré[Q(z)]

Ainsi toute fraction rationnelle irréductible P(z ) peut s'écrire : P(z ) = E(z ) + R(z )

avec degré[R(z)] < degré[Q(z)].

Q(z) Q(z) Q(z)

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E(z) s'appelle la partie entière de P(z) . Q(z)

Onpourravérifieràtitred'exemplesque: z3 +3z2 +3z+4 = z+1 + 3 z2+2z+1 14243 z2+2z+1

Remarques :

E(z)

z3+3z2+5z+4= z2+2z+3 + 1 z+1 142443 z+1

E(z) z3+3z2+6z+5= z+1 + z+2

z2+2z+3 14243 z2+2z+3 E(z)

● degré[P(z)] = degré[E(z)] + degré[Q(z)]

● Si degré[P(z)] ≥ degré[Q(z)] alors E(z) existe ● Si degré[P(z)] < degré[Q(z)] alors E(z) = 0.

4. Pôle d'une fraction rationnelle irréductible

On dit que z1 est un pôle d'ordre α1 de la fraction rationnelle irréductible R(z) si z1 Q(z)

est un zéro d'ordre α1 du polynôme Q(z). En conséquence, si on factorise Q(z)

α1 α2 αr α1 Q(z)=a(z−z) (z−z) ...(z−z) =(z−z) Q(z)

n12r11 avec α1+α2+...+αn=n,

on pourra écrire la fraction rationnelle R(z) sous la forme : R(z) =

R(z)

(z −z1)α1Q1(z)

Q(z) Exemple : z −1 = z −1

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z +4z +5z+2 (z+1) (z+2)

Q(z) (-1) pôle d’ordre 2

(-2)pôled’ordre1

II. DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES 1. Définition

La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle P(z) consiste à Q(z)

rechercher les polynômes E(z), N (z) et D (z) tels que : P(z) = E(z) + ∑ Ni (z) . iiα

avec degré[Ni(z)] < 2 et degré[Di(z)] < 3.

Q(z) i (Di(z))i

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α Conséquences : Si on remet sur même dénominateur, on a : ∏(Di (z)) i = Q(z).

i

Donc les polynômes Di(z) résultent de la factorisation de Q(z).

2. Eléments simples de première espèce

Un élément simple de première espèce est une fraction rationnelle dont le numérateur est une constante réelle ou complexe et dont le dénominateur est de la

forme (z − zi)αi avec αi > 0 et zi réel ou complexe. A

(z − zi)αi

3. Partie principale d'une fraction rationnelle irréductible, relative à un pôle

Soit une fraction rationnelle, notée N (z ) . N(z) est le numérateur, D(z) D( z)

est le

avec

D( z)

...