Devoir de maths 1 CG

Exercice 1

1/ Déterminer le nombre de voitures particulières produites en 2005, au millier près.

Soit x le nombre de voitures en 2005 ; le coefficient multiplicateur entre 2005 et 2006 est 1 + = 1.0246 donc 1.0246 x = 5168

D'où x = ≈ 5044.

Le nombre de voitures particulières produites en 2005 au millier près est de 5000.

2/ a) Calculer le taux d'évolution global de la production entre 2006 et 2013. Donner le résultat à 0.01 près.

Soit T le taux d'évolution entre 2006 et 2013.

T = ≈ 0.08455 soit environ 8.46 %.

Le taux 'évolution globale de la production entre 2006 et 2013 est de 8.46 %.

b) En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la production entre 2006 et 2013. Donner le résultat à 0.01 près.

Soit t le taux annuel moyen entre 2006 et 2013.

On a (1+t) = 1 + T

Donc t = (1 + T) - 1 ≈ 0.01166 soit environ 1.17 %.

Le taux d'évolution annuel moyen de la production entre 2006 et 2013 est de 1.17 %.

c) Si une baisse annuelle de 0.09 % se prolonge pendant les trois années qui suivent l'année 2013, quelle estimation peut-on faire du nombre de voitures en 2016 ?

Soit P_2013 et P_2016, le nombre de voitures en milliers de l’année 2013 et 2016.

Nous avons P_2016 = P_2013 〖 (1 - 0,09/100)〗^3

P_2016 = 5605〖 (1 - 0,09/100)〗^3

P_2016 = 5589 ,88

Le nombre de voitures en 2016 sera donc de 5590 milliers.

3/ Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, le contenu des cellules de la place C3 : I3.

On sait que C2 = B2 (1+ C3/100 ) donc dans la cellule C3 il faut saisir la formule :

C3 = ((C2/B2) -1) x 100.

Exercice 2

1 / Représentez graphiquement le nuage de points associés à cette série :

2/ Déterminer le SMIC de l’année 2010 sachant que le point moyen a pour coordonnées (2008,5 ; 1318) et compléter le graphique

On sait que les coordonnées du point moyen d’un nuage de points sont respectivement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des points du nuage : G = (x ̅ ; y ̅ )

y ̅ = 1318 soit 1318 = (1254+1280+1321+1338+y_(2010 )+1365)/6

Soit y_2010 = (1318 x 6) – 6558

y_2010 = 1350

Le SMIC de l’année 2010 est de 1350 €.

3/ Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série et en déduire qu’un ajustement linéaire est pertinent.

Le coefficient de corrélation r est définit par : r = σ_xy/(σ_x×σ_y ).

σ_x = √(( ∑_(i=1)^n▒〖n_i x_i^2 〗)/n – 〖(x ̅)〗^2 ) = √(((〖2006〗^2+〖2007〗^2+〖2008〗^2+〖2009〗^2+〖2010〗^2+〖2011〗^2))/6 – 〖(2008,5)〗^2 )

σ_x = 1,708

σ_y = √(( ∑_(i=1)^n▒〖n_i y_i^2 〗)/n – 〖(y ̅)〗^2 ) = √(((〖1254〗^2+〖1280〗^2+〖1321〗^2+〖1338〗^2+〖1350〗^2+〖1365〗^2))/6 – 〖(1318)〗^2 )

σ_y = 39,119

σ_xy = 1/n (∑_(i=1)^n▒x_i y_i) – (x ̅y ̅) = 1/6 (15883609) – (2008,5X1318)

σ_xy = 65,166

Ce qui nous donne r = σ_xy/(σ_x×σ_y ) = 65,166/(1,708 X 39,119) = 0,975.

L’utilisation de l’ajustement par la droite de régression est justifiée car le coefficient de corrélation est proche de 1.

4/ Avec la calculatrice, donner l’équation de la droite d’ajustement (vous arrondirez les coefficients à 0,001 près). Tracer cette droite sur le graphique.

L’équation de la droite d’ajustement est :

y = ax + b avec a = σ_xy/〖(σ_(x))〗^2 = 22,338 et b = y ̅ - ax ̅ = 43547,873

soit : y = 22,338x - 43547,873.

Afin de tracer cette droite sur le graphique, voici un tableau de coordonnées :

x y

2007 1284,49

2010 1351,51

5/ a) En utilisant cette droite, faire une estimation de la valeur du SMIC en 2015 (arrondir à l’entier le plus proche).

Si x = 2015, alors y = 22,338 X 2015 – 43547,873 = 1463,197

La valeur du SMIC en 2015 serait donc d’environ 1463 €.

b) Estimez en quelle année le SMIC dépassera 1500 €.

Pour cela résolvons l’inéquation y > 1500, soit 22,338x – 43547,873 > 1500

Alors 22,338x > 1500 + 43547,873 soit 22,338x > 45047,873

On obtient ainsi x > 2016,65.

Le SMIC dépassera 1500 € l’année 2017.

Exercice 3

Partie A

1 / Calculer la dérivée de la fonction M et vérifier que pour tout x ≠ 0 on a :

M’(x) = 2/x^2 (x – 7) (x^2+x+7)

M(x) = (C(x))/x soit M(x) = (x^3- 〖12x〗^2+50x+98)/X

C(x) = x^3-12x^2+50x+98 donc sa dérivée sera :

C’(x) = 3x^2-24x+50

M’(x) = C(x) X 1/x soit M’(x) = [C’(x) X1/x] + [C(x) X -1/x^2 ]

M’(x) = (3x^2-24x+50)/X

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