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qgbjhz; Calculer le capital disponible `a la fin de l’ann´ee 2020, arrondi `a l’euro pr`es.

6. Quel nombre minimal d’ann´ees devra-t-on attendre pour que le capital disponible d´epasse 10 000

euros ?

Exercice 3 5,5 points

Soient (un) et (vn) d´efinies pour tout entier naturel n, par :

un =

1

4

(2n + 4n − 5) et vn =

1

4

(2n − 4n + 5)

1. Calculer u0, u1, v0 et v1.

2. Montrer que la suite (an) de terme g´en´eral an = un + vn est g´eom´etrique de raison 2 ;

calculer sa somme Sa(n) = a0 + a1 + ... + an.

3. Montrer que la suite (bn) de terme g´en´eral bn = un − vn est arithm´etique de raison 2 ;

calculer sa somme Sb(n) = b0 + b1 + ... + bn.

4. En d´eduire les sommes Su(n) = u0 + u1 + ... + un et Sv(n) = v0 + v1 + ... + vn.

1

Exercice 4 5 points

Les suites (un), (vn) et (wn) sont d´efinies pour tout entier naturel n, par :

un = 1 − 3n ; v0 =

4

9

et vn+1 =

3vn

2

; wn =

n

2

2

n

1. Compl´eter le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4

un

vn

wn

2. D´emontrer que la suite (un) est strictement d´ecroissante.

3. D´emontrer que la suite (vn) est strictement croissante.

4. On veut d´emontrer que la suite (wn) est d´ecroissante `a partir du rang 3.

(a) Etudier le signe de f(x) = −x

2 + 2x + 1 sur [0; +∞[.

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : wn+1 − wn =

−n

2 + 2n + 1

2

n+1

(c) En d´eduire que si n ≥ 3 alors wn+1 ≥ wn et conclure.

...