Projet économétrique, cas des Etats-Unis

Université de Strasbourg                                                                      M2 APE

UFR Economie et Gestion

Evolution des hiérarchies urbaines et modèle de Zipf : cas des Etats-Unis

9 janvier 2017                                                   HILLION - ABUALHAIGA

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Sommaire

Introduction du modèle de Zipf ............................................................. 4

Estimation des paramètres du modèle de Zipf ...................................... 5

Interprétation des paramètres ................................................................ 6

Evolution des paramètres....................................................................... 9

Les limites du modèle de Zipf : le modèle de Rosen et Resnick ........ 10

Comparaison des modèles ................................................................... 12

Test de significativité du paramètre .................................................. 12

Conclusion ........................................................................................... 13

Validation empirique de la loi de Zipf :

cas des Etats-Unis[pic 1]

Introduction du modèle de Zipf

La loi de Zipf, du nom de son auteur, est une observation empirique concernant la fréquence des mots dans un texte. Cette loi prévoit que dans un texte donné, la fréquence d’occurrence d’un mot          est liée à son rang    dans

l’ordre d’occurrence par une relation de la forme                 avec    une constante positive. De nombreux auteurs du XXème siècle se sont demandé si l’on pouvait[pic 2]

réadapter cette loi à d’autres sujets, notamment aux hiérarchies urbaines et leurs

évolutions. Autrement dit, existe-il une relation inverse entre le nombre d’habitants d’une ville et son rang en termes de taille dans son pays? Nous y répondrons empiriquement en examinant le cas particulier des 100 plus grandes villes des Etats-Unis en 1990, 2000 et 2010.

Graphique A. Taille des 100 plus grandes villes des Etats-Unis en fonction de leur rang en 1990, 2000 et 2010

9000000

8000000

7000000

6000000

Taille en 1990      Taille en 2000      Taille en 2010

[pic 3][pic 4]

5000000

4000000

3000000

2000000

1000000

0

0              10             20             30             40             50             60             70             80             90            100

Source : Citypopulation

Graphiquement, on observe dans le cas des Etats-Unis une relation inverse entre la taille des 100 plus grandes villes et leur rang en 1990, 2000 et 2010 (cf. graphique A). On peut ainsi supposer que pour chacune des 3 dates observées t :[pic 5]

,           Ri

i[pic 6][pic 7]

avec    villes i parmi les 100 plus grandes des Etats-Unis à la date t :

-   Ri le rang (entier positif) de la ville i ;

-   Ti la taille en nombre d’habitants (entier positif) de la ville i.

En passant au logarithme népérien cette relation, on établit à chacune des trois années t le modèle de régression simple de Zipf suivant :

,               ln( R )  ln( )    ln(T )   

i                                                   i             i

avec

( i )1i 100 perturbations vérifiant les hypothèses classiques de la régression :

-       , E(i)=0;

-       , Var(i)=2 (variance résiduelle du modèle) ;

-                Cov(i,j)=0;

-       , i         (0,2).

Estimation des paramètres du modèle de Zipf

Il s’agit d’estimer les trois paramètres du modèle :                    Les deux  premiers  sont  estimés  par  la  méthode  des  moindres  carrés  ordinaires (MCO) i.e en minimisant la somme des erreurs au carré entre les log des rangs observés des villes et ceux estimés par le modèle de Zipf. En notant, pour

chaque année t,

ln( ) et  les estimateurs de         et on a :

...