MQT2001 TN2

Problème 1

1. H0 : µ = 6                   H1 : µ ≠ 6   Test bilatéral.

1. a = 0.05

1. La statistique qui convient pour ce test est X    

 L’écart réduit est : Z = X- µ0  /ecartype/√64                                              

où µ0 = 6 loi normale.

1. Règle de décision : Rejeter H0 si  Z ˃ 1.96 ou si Z ˂ -1.96    

1. n=64 (˃30)        X  =5.84

a) Z= 5.84  -  6/ 0.5/√64          z= 2.56                                      

 Z=-2.56 ˂ 1.96, l’hypothèse nulle est rejetée. L’écart entre  X  et µ0 est (5.84 - 6 = -0.16) n’est pas significatif au seuil de a = 0.05

b)     X = 5.84      et    z= 2.56

ap  =  2  x P (Z˂ 2.56)

     = (2) (0.5 – 0.49477)                                   = (2) (0.00523) = 0.01046

ap = 0.01046 ˂ 0.05, l’hypothèse nulle n’est pas crédible. Il faut favoriser H1.

c) Calcul de  β d’après µ = 5.9

Valeurs critiques :        Xc1= 6 – (1.96) (0.5)/ √64 =5.87

                                           Xc2 = 6 + (1.96) (0.5)/ √64 =6.1225

                β = P ( 5.87  -  5.9 )/ 0.5  / √64≤  Z  ≤ ( 6.1225  -  5.9 ) 0.5  / √64

β = P ( -0.48 ≤ Z ≤ 3.56)

   = 0.49981 + 0.1844 = 0.68421

Le risque de rejeter l’hypothèse nulle µ = 6, alors que la vraie moyenne est 5.9 est de 68 chances sur 100.

Puissance : À µ = 5.9, β = 0.68421, 1 – β = 1 – 0.68421 = 0.31579

Cette probabilité représente la puissance du test µ=5,9.

Problème 2

1. µ = 4.8           X = 4.9783     s = 0.3738

Hypothèses statistiques.

H0 : µ = 4.8

H1 : µ ≠ 4.8

Seuil de signification.

a= 0.05  (test bilatéral)

Conditions d’application du test.

Petit échantillon n˂30 (n= 12), provenant d’une population normale de variance inconnue.

La statistique qui convient pour le test est  X L’écart réduit est :

T = X - µ0 /s/√n

µ0 = 4.8 avec v=n-1 = 11 degrés de liberté.

Règles de décision

D’après H1 et au seuil de a = 0.05, la valeur critique de l’écart réduit est t0.025 ; 11= 2.2010. On adoptera la règle de décision suivante :

Rejeter H0 si T˂ -2.2010 ou si T˃ 2.2010, sinon ne pas rejeter H0.

Calcul de l’écart réduit

 X = 4.9783    s =0.3738

Ecart-type =  s/√n  = 0.1079

t = 4.9783 – 4.8 /0.3738/√12    t = 1.6523

Décision et conclusion

La valeur de t = 1.6523 on ne peut rejeter H0.

1. µ = 3.1               X =2.95    s= 1.2

1. Hypothèses statistiques.

H0 : µ = 3.1            H1 : µ ˂ 3.1

Seuil de signification.

a = 0.05

Conditions d’application du test.

Grand échantillon n ˂ 30 (n = 60) aléatoire provenant d’une population normale de variance inconnue.

La statistique qui convient pour le test est X. Les valeurs critiques s’obtiennent de  

c1 = µ0 – za/2                  X(σ/√n)

 Xc22 = µ0 + za/2 (σ/√n)

µ0 = 3.1

Règle de décision.

Rejeter H0 si     X   ˂  C

Calcul de la valeur critique

   X = 3.1 – (1.645)(1.2/√60)     = 2.845

Décision et conclusion

 Rejeter H0 si   X    ˂ 2.845

1. ˃  2.845, nous ne pouvons donc pas rejeter l’hypothèse nulle.

1. Ap = P(Z≤ zcal)

Zcal = 2.95 – 3.1  / 1.2/√60   =-0.97

Loi normale centrée réduite : 0.3340

P (Z˂ -0.97) = 0.5 – 0.3340 = 0.166

1. n= 800      P= 330 / 800 = 0.4125       np = (800)(0.4) = 320

Hypothèses statistiques

H0 : p = 0.4       H1 : p ˃ 0.4

Seuil de signification

a = 0.01,  z = 0.01  -  2.325

Conditions d’application du test

np ≥ 5  et  n (1 – p) ≥ 5

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