Mqt 1001 Module 3

Question 1 (15 points)

Résolvez les équations ou les inéquations suivantes (chaque sous-question vaut 5 points). Détaillez les étapes de vos calculs, y compris la validation de vos solutions dans le cas des équations.

a) (x + 25 / x+ 5) = (2x + 75 / 2x – 15)

Produits croisé

(x + 25) (2x -15) = (x + 5) (2x +75)

(x × 2x) (x × -15) (25 × 2x) (25 × -15) = (x × 2x) (x × 75) (5 × 2x) (5 × 75)

2x2 + -15x + 50x – 375 = 2x2 + 75x + 10x + 375

(2x2 - 2x2) (35x – 85x) (-375 – 375) = 0

X2 – 50x -750 = 0

Validation :

Formule : x = -b ± √b2 4ac / 2a

X2 – 50x -750 = 0

A B C

X = (-50) + √ (-50)2 – 4 x 1 x (-750) / 2 x 1

X = 50 + √2 500 – (-3 000) / 2

X = 50 + 74, 16198 / 2 ou en moins…. X = 50 – 74, 16198 / 2

X = 124, 16198 / 2 x = -24, 16198 / 2

X = 62, 08 x = -12, 08

X2 – 50x -750 = 0

62,082 – 50(62, 08) – 750 = 0

3 854 - 3 104 – 750 = 0

X2 – 50x -750 = 0

-12, 082 – 50(-12, 08) – 750 = 0

146 + 604 – 750 = 0

b) (x+3 / 2x – 7) – (2x – 1 / x – 3) = 0

Produits croisés

(x + 3) (x – 3) = (2x – 7) (2x -1)

(x × x) (x × -3) (3 × x) (3× -3) = (2x × 2x) (2x × -1) (-7 × 2x) (-7 × -1)

X2 -3x + 3x – 9 = 4x2 – 2x – 14x + 7

X2 – 9 = 4x2 – 16x + 7

(x2 – 4x2) + 16x (-9 -7) = 0

-3x2 + 16x – 16 = 0

A B C

Validation :

Formule : x = -b ± √b2 4ac / 2a

X = (-16) + √ (-16)2 – 4 x -3 x (-16) / 2 x -3

X = -16 + √256 – 192 / -6

X = -16 + √64 / -6 ou en moins…. X = -16 - √256 – 192 / -6

X = -16 + 8 / -6 x = -16 - 8 / -6

X = -8/-6 x = -24/ -6 = 4

-3x2 + 16x – 16 = 0

-3(4)2 + 16(4) – 16 = 0

-48 + 64 -16 = 0

-3x2 + 16x – 16 = 0

-3(-8/-6)2 + 16(-8/-6) – 16 = 0

-5,33333 + 21,33333 – 16 = 0

c) 14x – 4 / 3 ˂ 1 + 2x

3 (14x -4) / 3 ˂ 3 (1 + 2x)

14x – 4 ˂ 3 + 6x

(14x – 6x – 4 – 3) ˂ 0

8x – 7 ˂ 0

8x ˂ 7

8x /8 ˂ 7/8

X ˂ 0, 875

Réponse : tous les nombres plus petits que 0, 875 vérifient l’équation

Question 2 (20 points)

Résolvez les systèmes d’équations suivants (chaque sous-question vaut 10 points). Détaillez les étapes de vos calculs, y compris la validation de vos solutions.

a) 21/x + 12/y = 5 et 1/y – 1/x = 1/42

On multiplie la deuxième équation pour éliminer le 21/x

21/x + 12/y = 5 et (21) 1/y – 1/x = 1/42 (21)

21/x + 12/y = 5 et 21/y – 21/x = 21/42

21/x + 12/y = 5

+

21/y – 21/x = 21/42

12/y + 21/y = 33/y

33/y = 33/y …. Diviser par 5.50 ….

Y = 6

21/x + 12/6 = 5 …. (21/x + 12/6 – 12/6 = 5 – 12/6)

21/x = 3 … diviser par 3 = …. X = 7

Validation :

21/7 + 12/6 = 5 ….. 3 + 2 = 5

Et

1/6 – 1/7 = 1/42 … ppcm = 42…. Donc (7) 1/6 – (6) 1/7 = 1/42

7/42 – 6/42 = 1/42

b) 1/(4x)+1/(3y)=2 et 1/y-1/(2x)=1

On multiplie la deuxième équation par 1/2 pour obtenir :

1/(2y)-1/(4x)=1/2

1/(4x)+1/(3y)=2

+

1/(2y)-1/(4x)=1/2

1/(3y)+1/(2y)=5/2

(5/6y)=5/2

On multiplie les deux membres par l'inverse de 5/6 (donc 6/5) et on obtient 1/y=3

y=1/3

On prend la deuxième équation

1X3-1/(2x)=1

3-1/(2x)=1

3 -1/(2x) -3= (-3+1) = -2 donc 1/(2x)=2, on multiplie par l'inverse

...