MQT2001 TN2

PREMIER PROBLÈME

1. H0 : µ = 6                   H1 : µ ≠ 6   Test bilatéral.

1. a = 0.05

1. La statistique qui convient pour ce test est          .[pic 1]

 L’écart réduit est : Z =          - µ0[pic 2]

                                                                         s/ √n

où µ0 = 6  puisque la distribution s’approche d’une loi normale.

1. Règle de décision : Rejeter H0 si  Z ˃ 1.96 ou si Z ˂ -1.96    

1. n=64 (˃30)          =5.84[pic 3]

a) Z= 5.84  -  6

           0.5/√64

Z= -2.56

[pic 4]

Puisque Z=-2.56 ˂ 1.96 , l’hypothèse nulle est rejetée. L’écart entre       et µ0 soit (5.84 - 6 = -0.16) n’est pas statistiquement significatif au seuil de a=0.05

b)           = 5.84      et    z= 2.56[pic 5]

ap  =  2  x P (Z˂ 2.56)

     = (2)(0.5 – 0.49477)

     = (2)(0.00523) = 0.01046

Puisque ap = 0.01046 ˂ 0.05, l’hypothèse nulle n’est pas crédible. Nous favorisons H1.

c) Calcul de  β d’après µ = 5.9

[pic 6]

Valeurs critiques :          c1 = 6 – (1.96) (0.5)

                                                                          √64

                                                 = 5.87

 [pic 7]

                                             c2 = 6 + (1.96) (0.5)

                                                                          √64

                                                 =6.1225

β = P ( 5.87  -  5.9 )   ≤ Z ≤ ( 6.1225  -  5.9 )

               0.5 / √64                     0.5  / √64

β = P ( -0.48 ≤ Z ≤ 3.56)

   = 0.49981 + 0.1844 = 0.68421

Le risque d’accepter à tord l’hypothèse nulle µ = 6, alors que la vraie moyenne est 5.9 est de 68 chances sur 100. Le risque de 2e espèce est relativement élevé.

Puissance : À µ = 5.9, β = 0.68421, 1 – β = 1 – 0.68421 = 0.31579

DEUXIÈME PROBLÈME

1. µ = 4.8

    = 4.9783 [pic 8]

s = 0.3738

Hypothèses statistiques.

H0 : µ = 4.8

H1 : µ ≠ 4.8

Seuil de signification.

a= 0.05  (test bilatéral)

Conditions d’application du test.

Petit échantillon n˂30 (n= 12), provenant d’une population normale de variance inconnue.

La statistique qui convient pour le test est        . L’écart réduit est :[pic 9]

[pic 10]

T =        - µ0

          s/√n

où µ0 = 4.8. Il est distribué suivant la loi de Student avec v=n-1 = 11 degrés de liberté.

Règles de décision

D’après H1 et au seuil de a = 0.05, la valeur critique de l’écart réduit est t0.025 ; 11= 2.2010. On adoptera la règle de décision suivante :

Rejeter H0 si T˂ -2.2010 ou si T˃ 2.2010, sinon ne pas rejeter H0.

Calcul de l’écart réduit

     = 4.9783[pic 11]

 s = 0.3738

Erreur-type =   s

                            √n

                        = 0.1079

t = 4.9783 – 4.8

      0.3738/√12

t = 1.6523

Décision et conclusion

La valeur de t = 1.6523 se situe dans la région de non-rejet de H0. Nous ne pouvons rejeter H0.

1. µ = 3.1[pic 12]

    = 2.95

s = 1.2

1. Hypothèses statistiques.

H0 : µ = 3.1            H1 : µ ˂ 3.1

Seuil de signification.

a = 0.05

Conditions d’application du test.

Grand échantillon n ˂ 30 (n = 60) aléatoire provenant d’une population normale de variance inconnue.

[pic 13]

La statistique qui convient pour le test est         . Les valeurs critiques s’obtiennent de      c1 = µ0 – za/2 (σ/√n) (celle qui nous intéresse)[pic 14]

                                    c2 = µ0 + za/2 (σ/√n)[pic 15]

où µ0 = 3.1.

Règle de décision.[pic 16][pic 17]

Rejeter H0 si        ˂       c

Calcul de la valeur critique[pic 18]

     c = 3.1 – (1.645)(1.2/√60)

        = 2.845

Décision et conclusion[pic 19]

 Rejeter H0 si       ˂ 2.845

1. ˃  2.845, nous ne pouvons donc pas rejeter l’hypothèse nulle.

1. Ap = P(Z≤ zcal)

Zcal = 2.95 – 3.1

           1.2/√60

       = -0.97

    Loi normale centrée réduite : 0.3340

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