Grand oral de mathématiques

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loi de benfors et fraude fiscale

I)il existe dans notre monde un phenomene presque omniprésent defiant l’aleatoire

celui de la repartition des premiers chiffres significatif  car a premiere vu il semble évident que la repartition de ces derniers soit la meme que pour le reste et donc que l’on ai autant de chance de tomber sur un 1 que sur un 4 ou bien un 9

or il s’avere que la probabilité que 1 soit le chiffre significatif est de 30%  celle du 2 qui cette est de 17% que celle du 3 12% et ainsi de suite

ceci cest la loi de benford et nous allons voir sont emploi dans le cas de la fraude fiscale et du blanchiment d’argent

dans un premier un peu d’histoire sur l’origine de tout ca puis nous verrons nous pencherons vers l’aspect plus mathematiques et enfin j’expliquerai comment on peut l’utiliser pour notre problématique

I)pour aborder le sujet je vais parler de la fraude fiscale et du blanchiment d’argent donc la fraude fiscale est une activité illegale cherchant a eviter de payer des impots  ca existe depuis que la société utilise un systeme centralisé de prelevement pour elle même, on en retrouve des traces durant l’antiquité, le blanchiment d’argent quand a lui consiste a remettre dans le circuit légal, les liquidités issues d'activités illégales, il y a en autre la technique de la creation de societe écrans, on ne parle de blanchiment d’argent que depuis les années 70.

en 1614 l’astronome john napier crée la 1ere table de logarithme permettant de simplifier les multiplications de grand nombre en adittionnant leur logarithme, c’est en 1881 que l’on retrouve le premier rapport de la loi de benford avec simon newcomb qui constate que les 1ere  pages de table de logarithme et donc celle avec des nombres commencant par 1 sont plus usée que le reste, de la il en tire une loi quil nommera la loi des nombres anormaux p(n)=log(n+1)-log(n)

en 1938 franck Benford redecouvre cette loi la nomme a son nom , c’est donc une loi empirique que l’ont peut generaliser expliquer schema 1 puis 2 (avec exemple)

a partir du rang 4 on considere que la loi de probabilité est uniforme est que pour n’importe quel chiffre on obtient 10% de chance de l’obtenir

autre fait intéressant est son invariance des echelles, cela signifie que l’ont peut choisir ou convertir dans un grand nombre d’unité cette loi sera toujours d’un grand nombre de cas toujours valable, cela vient du fait que cette loi est dite scalante ce qui fait que l’on ne calcul pas l’ecart entre 2 nombre part une addition mais par une multiplication courbe 1 et 2 et que par proportion l’ecart entre 1 et 2 est le meme qu’entre 4 et 8 c’est pourquoi il n’y a en realité aucune anomalie dans la repartition de ces valeur  mais qu’il ne fallait au final que changer l’echelle a laquelle on les regarde

du fait quelle ne depende pas des echelles elle peut etre appliquer dans le cadre de l’economie en s’adaptant aussi bien au dollar qu’a l’euro ou bien qu’au yen, cest en 1972 que hal varian propose l’utilisation de la loi de benford pour  detecter la fraude fiscale

et le blanchiment d’argent pour se faire il faut dans un premier tps

 Collecte des données financières( transaction revenus depenses

puis en extraaire leur premiers chiffre significatif

apres il faut calculer leur frequence d’apparition et conclure en comparant avec la repartition  emise par cette loi, si l’on se rend compte que les valeurs nee coincide pas on peut imaginer qu’elle ne viennent pas de vrai rapport mais de l’esprit humain

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