Devoir surveillé de mathématiques

Éléments de correction - devoir surveillé du 22/02/2024 Tale Spécialité

Stats du devoir : Min : 0,5 ; Max : 17,5 ; Med : 13 ; Hist :

Exercice no 1

1. x = (ln 2 − ln(34 )) − (ln(33 ) − ln(23 ) ;

x = ln 2 − 4 ln 3 − (3 ln 3 − 3 ln 2) ;

x = ln 2 − 4 ln 3 − 3 ln 3 + 3 ln 2 ;

x = 4 ln 2 − 7 ln 3. On en déduit les deux entiers : a = 4 et b = −7.

2. L’inéquation : ln(2 − x) 6 3 ln 2 a un sens seulement si : 2 − x > 0, soit x ∈] − ∞ ; 2[.

On applique la fonction exponentielle, strictement croissante sur R, à chaque membre de l’inégalité.

On remarque que 3 ln 2 = ln 8.

L’inéquation est successivement équivalente à :

(2 − x) 6 8 et x ∈] − ∞ ; 2[ ;

−6 6 x et x ∈] − ∞ ; 2[ ;

x ∈ [−6 ; +∞[ et x ∈] − ∞ ; 2[ ;

x ∈ [−6 ; +∞[ ∩ ] − ∞ ; 2[.

On en déduit l’ensemble des solutions de l’inéquation initiale : [−6 ; 2[.

Exercice no 2

1. Les informations lues sur le tableau de variation de g 0 permettent de dresser le tableau des signes de g 0 (x)

sur l’intervalle [−5 ; 5] et d’en déduire le sens de variation de g.

x −5 −2 2 5

g 0 (x) − 0 + 0 +

La fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle [−5 ; −2].

La fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On déduit la convexité de g du sens de variation (au sens large) de la fonction g 0 .

La fonction g 0 est (strictement) croissante sur l’intervalle [−5 ; −1] et aussi sur l’intervalle [2 ; 5].

Par conséquent, la fonction g est convexe sur [−5 ; −1] et sur [2 ; 5].

La fonction g 0 est (strictement) décroissante sur l’intervalle [−1 ; 2].

Par conséquent, la fonction g est concave sur [−1 ; 2].

3. La courbe Cg présente un point d’inflexion lorsqu’en ce point, la fonction g passe de concave à convexe,

ou bien de convexe à concave.

Le tableau de variation de g 0 permet d’observer deux points d’inflexion de Cg , l’un d’abscisse −1 et l’autre

d’abscisse 2.

Exercice no 3

1. Soit x un réel quelconque, x 6= 0.

 

3 4 11 7

p(x) = x −1 + + 2 − 3 .

x x x

• Limite en +∞.

lim x3 = +∞ ;

x→+∞

 

4 11 7

lim −1 + + 2 − 3 = −1.

x→+∞ x x x

 

3 4 11 7

Théorème sur la limite d’un produit, lim x −1 + + 2 − 3 = −∞.

x→+∞ x x x

On en déduit : lim p = −∞.

+∞

• Limite en −∞.

Par un raisonnement analogue, on montre que : lim p = +∞.

−∞

2. Soit x un réel quelconque.

p0 (x) = −(3x2 ) + 4 × (2x) + 11 ;

p0 (x) = −3x2 + 8x + 11.

On développe l’expression donnée dans l’énoncé :

(x + 1)(−3x + 11) = −3x2 + 11x − 3x + 11 ;

= −3x2 − 8x + 11 ;

= p0 (x).

Par conséquent, pour tout réel x, p0 (x) = (x + 1)(−3x + 11).

Autre rédaction. On remarque que p0 est une fonction polynôme du second degré.

On peut alors lui appliquer les résultats de cours concernant le second degré.

Une racine évidente de p0 est x1 = −1. Par conséquent p0 (x) se factorise sous la forme :

p0 (x) = −3 (x + 1)(x − x2 ), où x2 est la deuxième racine à déterminer.

11 11

On utilise le produit des racines : x1 x2 = , d’où x2 = .

−3 3

11

Pour tout réel x, p0 (x) = −3 (x + 1)(x − ) soit : p0 (x) = (x + 1)(−3x + 11).

3

0

3. On étudie le signe de p (x) en utilisant la forme factorisée précédente.

La

...