Grand oral de maths

Les mathématiques nous permettent-elles de maximiser nos gains aux jeux de hasard ?

En France en 2023, 37 personnes sont devenues millionnaires grâce au loto. Le montant le plus haut ayant été gagné est de 18 millions d’euros. Plus de 27 millions de personnes jouent aux jeux de hasard en France en espérant devenir eux même millionnaires. Il existe une multitude de jeux de hasard pour lesquelles on peut devenir riche en les gagnant.

On peut alors se demander si les mathématiques nous permettent de maximiser nos gains aux jeux de hasard ?

Pour cela nous allons voir la probabilité que l’on a de gagner différents jeux de hasard tels que le loto ou la roulette. La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime la « chance » qu’a un évènement de se produire. Un jeu de hasard est un jeu dont le déroulement est partiellement ou entièrement soumis à la chance / au hasard. Nous allons néanmoins voir si l’on peut prédire le résultat de ces jeux de hasard grâce aux mathématiques.

Poker :

L’origine du poker remonte aux années 1830. Le poker a été inventé aux Etats Unis, en Louisiane. C’est un jeu de cartes qui se joue au minimum à deux. Le but est d’avoir un ensemble de 5 cartes, appelé main, qui doit être plus fort que celui de vos adversaires. L’ordre de ces 5 cartes ne compte pas, on a donc une combinaison de 5 cartes. En sachant que le poker se joue avec un jeu de 52 cartes, on peut alors avoir une combinaison de 5 cartes parmis les 52 cartes en tout. On a donc 2 598 960 combinaisons différentes, et donc mains possibles. Une des plus haute main au poker est le carré : c’est une combinaison dans laquelle on a 4 cartes avec un numéro identique, et une autre carte. Il y a 13 possibilités d’avoir quatres cartes identiques :  4 as, 4 rois, 4 dames etc.

Loto :

Les origines du loto remontent au 16eme siècle à Gène, en Italie. Au départ, ce n’était pas de l’argent qui était mis en jeu mais une place au Sénat (chambre du parlement, où on vote les lois = sénateurs). Chaque année, cinq citoyens étaient tirés au sort pour intégrer le Sénat. « Lotto » signifie lot en italien. Le loto se répand ensuite rapidement dans toute l’Europe.

La loterie nationale a été officiellement créer en 1933 mais pour une durée de seulement 1 an. C’est en 1975 que le Loto est officiellement créé sur le modèle du loto allemand. Aujourd’hui, les montant mis en jeux au loto vont de 1 à 10 millions d’euros.  Pour gagner le loto, c’est en principe assez simple : il faut sélectionner 5 numéros allant de 1 à 49. Ensuite, des numéros vont être tirés au sort et s’ils correspondent à vos numéros choisis, vous avez alors gagné. On peut alors utiliser les mathématiques pour calculer nos probabilités de gagner au loto.

Tout d’abord, il faut sélectionner 5 numéros pour lesquels l’ordre ne compte pas. Puisque l’ordre ne compte pas, on a donc ce qu’on appelle une combinaison de 5 numéros parmi les 49 possibilités, ce qui équivaut à 49C5 = 1 906 884 combinaisons possibles. On a donc une chance sur 1 906 884 de gagner.

Pour remporter l’euro million, il faut sélectionner 5 numéros compris cette fois entre 1 et 50 et deux numéros étoiles compris entre 1 et 12. On a donc une combinaison de 5 parmi 50 : 50C5=2 118 760, et pour les numéros spéciaux il faut en choisir 2 parmi 12 donc 12C2=66. Pour obtenir la probabilité de gagner l’euro million, il faut multiplier ces deux probabilités : on obtient donc 66x2 118 760= 139 838 160 combinaisons possibles.

On a donc une chance sur 139 838 160 de gagner l’euro million, soit une probabilité de 7.15x10-9.

Espérance : en jouant 1000 fois, le joueur peut espérer gagner

Le tiercé :

Le tiercé est également un jeu de hasard connu. En 2023, 229 parieurs ont remporté plus de 100 000€ au tiercé, et le plus gros montant gagné s’est élevé à 752 460€. C’est en 1954 qu’est créer le tiercé par André Carus, le directeur du PMU (Pari Mutuel Urbain). Le but du tiercé est de trouver les 3 premiers chevaux d’une course, et ce dans le bon ordre. Puisqu’ici l’ordre compte, et qu’on ne peut pas répéter les résultats puisqu’un cheval ne peut passer deux fois la ligne d’arrivée, on a donc un arrangement.

En sachant qu’il y a 18 chevaux maximum dans une course, on va alors supposer qu’il y en a 18 pour calculer nos chances de gagner de l’argent en jouant au tiercé. On a donc = 4 896.[pic 1]

La probabilité de gagner au tiercé est donc de  =0.0002.[pic 2]

Or, au tiercé si vous trouvez les 3 bons chevaux mais qu’ils ne sont pas dans le bon ordre, vous gagnez tout de même un plus petit lot. On peut alors calculer notre probabilité de gagner le plus petit lot. Comme l’ordre ne compte pas, on veut obtenir des combinaisons. On a donc 18C3=816.

On a donc une probabilité de gagner le plus petit lot qui est de =0.0012.[pic 3]

Blackjack :

Au blackjack, on joue contre la banque. Le principe est simple : on nous distribue deux cartes. Il faut alors additionner ces deux cartes, et en fonction du nombre obtenu on peut soit tirer une autre carte soit garder ces deux-là. La banque a elle aussi deux cartes. Le but est d’obtenir une somme de 21, ou de s’en approcher le plus possible. Au début, on a misé de l’argent et la banque a misé la même somme. Si l’on gagne, on gagne alors l’équivalent de notre somme, mais si l’on perd on perd la somme que l’on avait mis en jeu au départ. Le valet, la dame et le roi valent tous 10. L’as vaut 1 ou 11, selon le choix du joueur.

Ce jeu a vu ses origines aux Etats Unis au 20eme siècle.

Le blackjack se joue avec un ou plusieurs jeux de cartes de 52 cartes. On va prendre ici l’exemple d’un jeu avec un seul jeu de carte. On peut alors calculer la probabilité d’obtenir un blackjack dès le début de la partie.

Roulette :

La roulette a été inventée au 19ème siècle. Le but est de deviner sur quelle case va s’arrêter une bille que l’on lance dans le disque de la roulette. Dans ce dernier, il y a 36 cases : 18 rouges et 18 noires. Il y a une 37eme case : la case 0 qui est verte. Les cases ne sont pas ordonnées, les numéros sont répartis de manière aléatoire. On peut miser sur un chiffre, sur une couleur, sur la nature d’un chiffre : paire ou impaires, mais également sur un groupe de nombre : de 1 à 18 c’est passe, et de 19 à 36 c’est manque. Les joueurs misent sur un tapis de jeu disposé à côté de la roulette.  Ensuite, la roulette va être lancée et la bille va s’arrêter sur un numéro : vous avez alors gagné ou perdu. En pariant seulement sur un chiffre en lui-même, la probabilité de gagner est alors de   = 0.027 = 2.7%. On peut donc penser que ce jeu est dû au hasard, mais on peut utiliser les mathématiques pour augmenter nos chances de gagner. [pic 4]

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