Cours de mathématiques - formule des probabilités totales

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Probabilité 4. Formules des probabilités totales.        

But. Savoir mettre en place les formules des probabilités totales.

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Remarque.[pic 5]

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Cas particulier à connaître. Avec le système complet d’événements (A, A ), en supposant

P ( A) ≠ 0 et P (A) ≠ 0, la formule des probabilités totales s'écrit :[pic 7][pic 8][pic 9]

P(B) = P(A)PA(B) + P( A ) P A (B).

Exercice 1.

On dispose d’une urne A contenant 2 boules rouges et une boule noire et d’une urne B contenant une boule rouge et deux boules noires.

On pioche une boule dans l’urne A. On note sa couleur et on l’a remet dans l’urne A. Si cette boule est rouge, on effectue deux tirages successifs avec remise dans l’urne A. Si elle est noire, on effectue deux tirages successifs avec remise dans l’urne B.

Ces deux tirages sont appelés tirage 2 et tirage 3. Déterminer la probabilité des événements suivants :

1. le tirage 2 a amené une boule noire.
2. le tirage 3 a amené une boule noire.
3. les tirages 2 et 3 ont amené une boule noire.
4. Que peut-on en conclure ?

On pourra noter, pour tout i de !#"1,3%&$ ,  Ni   l’événement « obtenir une boule noire au i-ème tirage ».

Exercice 2. On dispose de deux pièces A et B.

La pièce A est équilibrée et la pièce B amène Pile avec une probabilité 2/3. On effectue une infinité de lancers selon le protocole suivant :

On commence par lancer la pièce A.

Pour tout entier naturel n non nul, si le n-ième lancer amène Pile, on relance la même pièce au (n+1)-ième lancer. Sinon, on lance l’autre pièce au (n+1)-ième lancer.

Pour tout entier naturel n non nul, An désigne l’événement « on lance la pièce A au n-ième lancer » dont la probabilité sera noté an .

1. Calculer a1 et a2 .
2. a) A l’aide de la formule des probabilités totales, justifier que : ∀n ≥ 2, a

b) Cette formule est-elle encore valable pour n = 1 ?

n+1

= 1 a + 1

6 n        3[pic 10][pic 11]

1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l’expression de an en fonction de n.

Exercice 3*.

Un archer vise une cible décomposée en 10 parties numérotées de 1 à 10.

On note, pour tout i de !#"1,10$&% , αi   la probabilité de toucher la partie numérotée i. Chacune de ces probabilités est supposée non nulle.

On suppose que la cible est telle que les parties sont 2 à 2disjointes.

On s’intéresse à l’événement V « l’archer touche le 7 avant le 10 »

On notera Ak l’événement « il touche le 7 au tir numéro k », Bk l’événement « il touche le 10 au tir numéro k » et Ck l’événement « l’archer n’a touché ni le 7 ni le 10 au k-ième tir ».

1. Montrer que ( A1, B1,C1 ) forme un système complet d’événements.
2. En déduire que : P V =        α7[pic 12][pic 13]

α7 + α10

Exercice 4.

On tire une carte avec remise dans un jeu de 32 cartes. On effectue une succession de tels tirages.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 2,

on note Pn l’événement « obtenir, pour la première fois, deux as consécutifs (sans distinction de couleur) au lors du n-ième tirage » dont on note pn la probabilité.

on note An l’événement « obtenir un as au n-ième tirage ».

1. Déterminer p2 et p3 .
2. Montrer que ( A1, A1 ∩ A2 , A1 ∩ A2 ) forme un système complet d’événements.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
3. En déduire que : ∀n ≥ 4, pn

= 7 p

8[pic 18]

n−1 + 64

pn−2 .

Exercice 5. Extrait d’Edhec 2003

Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que :

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