Logique terminale s

Un peu de logique - Les différents types de raisonnements en TS

En maths, on rencontre souvent des affirmations, aussi appelées propositions :

Par exemple “ 12 est un entier pair”, “ ABC est un triangle équilatéral”,...

Une proposition est soit vraie, soit fausse.

Il n’y a pas de 3ème choix possible : c’est le principe du tiers exclu.

A : Les connecteurs logiques : relations entre propositions mathématiques P et Q :

1 - La négation :

La négation d’une proposition P , notée“ non P ” ou encore ¯P , est l’affirmation contraire de P .

Exercice 1 : Enoncer la négation des propositions suivantes :

“Tous mes amis pratiquent un sport ”

“Un de mes cousins pratique la musique”

“Tout entier n de l’ensemble E est impair”

“Je vais avoir strictement plus de 15 au bac en maths et en physique”

“S’ il neige, alors la température est inférieure à 0°C”.

Propriétés de la négation : Si une proposition P est vraie alors sa négation ¯P est fausse.

Réciproquement, si une proposition P est fausse alors ¯P est vraie.

2 - L’implication :

On dit que P implique Q , lorsque : si P est vraie, alors Q est vraie

Dans ce cas, on peut dire “ P donc Q ”, on note aussi P⇒Q

Vocabulaire : On dit alors que : Q est une condition nécessaire pour avoir P vraie.

Il faut que Q soit vraie pour que P le soit.

P est une condition suffisante pour avoir Q vraie.

Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit.

Exemple : La proposition “ Je suis né en France” implique la proposition “Je suis né en Europe”.

On peut dire : Il suffit d’être né en France pour être né en Europe.

Il faut être né en Europe pour être né en France.

Etre né en France est une condition suffisante pour être né en Europe mais elle n’est pas nécessaire.

Etre né en Europe est une condition nécessaire pour être né en France mais elle n’est pas suffisante.

Exercice 2 : Compléter les phrases suivantes avec les mots “nécessaire ou suffisant” :

Une place de cinéma coûte 8 €. Dans ce cas, 10 € sont......................................pour payer une séance.

Par ailleurs, il est évident que 8 € sont........................................pour entrer sans frauder.

ABCD est un parallélogramme est une condition.........................pour que ABCD soit un losange mais elle

n’est pas...................................

ABCD est un carré est une condition..............…..........pour que ABCD soit un losange mais elle n’est

pas...................................

L’implication Q⇒P est dite réciproque de l’implication P⇒Q .

L’implication Q¯ ⇒P¯ est dite contraposée de l’implication P⇒Q .

Attention : Si une implication est vraie, sa contraposée est aussi vraie, ce qui n’est pas toujours le cas

de sa réciproque.

Exercice 2 : 1) Vérifier que les phrases suivantes et leurs contraposées sont vraies en même temps :

Si on est le 1er janvier alors le lycée est fermé

x∈ℝ⇒ x

2≥0 .

m≥2⇒m

2≥4 .

2) Enoncer les réciproques des phrases précédentes. Sont-elles vraies ?

3 - L’équivalence :

On dit que P est équivalent à Q lorsque l’implication directe P⇒Q et l’implication réciproque Q⇒P

sont vraies toutes les deux.

On note P⇔Q . On peut aussi dire P si et seulement si Q .

Vocabulaire : On dit alors que :

P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour avoir Q .

Il faut et il suffit que P soit vraie pour que Q le soit.

Attention à ne pas confondre le signe de l’équivalence (placé entre 2 propositions)

et le signe d’égalité (placé entre 2 quantités mesurables de même valeur).

Pour une fonction f ( x)=2 x

2

+5x−2 , on écrit ∀ x∈ℝ , f ( x)=2 x

2

+5x−2=(2x−1)( x+3) Il s’agit d’une égalité.

Par ailleurs, on écrira f ( x)=0⇔2x

2

+5 x−2=0⇔(2 x−1)(x+3)=0⇔x=

1

2

ou x=−3 . Il s’agit d’équivalences.

Exercice 3 : Donner une ou plusieurs CNS pour que :

a) ABC soit rectangle en A .

b) Une fonction f dérivable sur un intervalle I admette un extremum en a∈I .

B : Des notations pratiques : les quantificateurs :

La locution “Pour tout” est notée ∀ , on l’appelle quantificateur universel.

La locution “Il existe ” est notée ∃ , on l’appelle quantificateur existentiel.

Exemple : La proposition mathématique : “Le carré de tout réel est positif” peut s’écrire

...