Intérêts composés

[pic 1]

Compétences attendues :

• Définir l’intérêt composé ;
• Calculer la valeur acquise d’un capital placé à un intérêt composé (cas où n est un nombre entier de périodes, et cas où n est un nombre décimal : solution rationnelle et solution commerciale) ;
• Comparer les valeurs acquises d’un même capital placé à intérêts composés et à intérêts simples en fonction du temps n ;
• Calculer la valeur actuelle d’un capital placé à intérêts composés et exploiter la formule générale ;
• Effectuer les opérations liées à l’escompte et aux équivalences à intérêts composés ;
• Effectuer la représentation graphique : l’intérêt, la valeur acquise et la valeur actuelle.

Un capital est placé à intérêts composés lorsqu’à la fin de la première période, l’intérêt simple de cette période est ajouté à ce capital pour produire un intérêt à son tour pendant la période suivante, et ainsi de suite.

On parle d’intérêts composés si à la fin de chaque période, l’intérêt simple produit est ajouté au capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante (capitalisation des intérêts).

Application : Que devient un capital de 100 000F CFA placé au taux annuel de 6% à intérêts composés pendant 3 ans ?

Solution :

NB : La période peut être l’année, le semestre, le trimestre, le mois, bisannuel, trisannuel, etc.

LECON 1 : VALEUR ACQUISE D’UN CAPITAL PLACE A INTERETS COMPOSES

1. Formule fondamentale

Désignons par :

• C : le capital initial placé ;
• I : le taux d’intérêt pour 1F « correspondant à la période » ;
• n : le nombre de périodes ;
• Et  : la valeur acquise par le capital au bout de n périodes.[pic 2]

[pic 3]

         •=• TAB FI n°1[pic 4]

Application 01 : Cas où n est un nombre entier

Reprenons l’application précédente et calculons la valeur du capital placé au bout de 3 ans.

Solution : Calcul de la valeur acquise au bout de 3 ans

Deux solutions sont possibles :

1. Solution à l’aide des tables de logarithmes

 •=•  [pic 7][pic 8]

•=•  •=• log [pic 9][pic 10]

D’où [pic 11]

1. Solution à l’aide des tables financières

 •=•  •=• [pic 12][pic 13][pic 14]

Remarque : Les valeurs acquises par un capital C au bout de 1, 2, 3, ..., n périodes forment une progression géométrique de raison (1+i) et de premier terme C(1+i).

Application 01 : Cas où le temps (n) n’est pas un nombre entier de période

Calculer en utilisant la solution rationnelle et la solution commerciale la valeur acquise par un capital de 100 000F placé pendant 8 ans 5 mois au taux annuel de 6%.

1. Solution rationnelle

On utilise la formule générale pour la partie entière et les intérêts simples pour la partie fractionnaire, d’où :

 •=• [pic 15][pic 16]

1. Solution commerciale

On étend la formule générale établie pour n entier, d’où :

 •=•  TAB VI[pic 17][pic 18]

 •=• [pic 19][pic 20]

1. Utilisation de la formule générale

La formule de la valeur acquise met en relation :  chacun de ces éléments pouvant devenir une inconnue et constituer le problème à résoudre.[pic 21]

1. Calcul de la valeur actuelle (C)

 (Formule d’actualisation : Table Financière n°2).[pic 22]

Application : Quelle est la valeur actuelle au taux de 4% d’une somme de 48 000F payable dans 10 ans ?

Solution :

 •=• [pic 23][pic 24]

• A l’aide des tables de logarithmes :

Log C = log 48 000 – 10 log 1,04   log C = 4,510907844 ( [pic 25][pic 26][pic 27]

• A l’aide de la table financière :

C = 48 000 x 0,675 564  C = 32 427F CFA[pic 28]

1. Calcul du temps (nombre de période, la durée de placement)

 [pic 29]

Application : Au bout de combien de temps une somme double-t-elle au taux semestriel de 4% par capitalisation semestrielle ?

Solution : Calcul de du temps (n) 

• Solution à l’aide des logarithmes :

2C =  [pic 30][pic 31]

• Solution à partir de la table financière (i n’est pas dans la table) :

Selon la table I :

1. Calcul de l’intérêt

• Somme des intérêts au bout de n périodes ( )[pic 37][pic 36]

 •=•  [pic 38]

Application : Calculer les intérêts produits par un capital de 100 000F CFA placé au taux annuel de 6% à intérêts composés pendant 3 ans.

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