Vecteur 1ère

Vecteurs

Vecteur et repère :

3 points A, B et C non alignés peuvent former un repère (A ;  ; ) dans se repère le vecteur = X + Y  donc  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Exemple :

Un repère (A ;  ; ) ou plutôt (0 ; 1 ; 1) car A (0 ; 0)       [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

On y place un point M (2 ;1), donc  =  = Xm + Ym    + [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

 = [pic 21][pic 22]

Un triangles ABC peut être une base d’un repère (A ;  ; ) et si le point D est le milieu de (CB) alors   = ( + ) .[pic 29][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Vecteurs colinéaires :

 = k*[pic 30][pic 31]

Soit    et   si x*y’ = y*x’ ou encore si x*y’- y*x’ = 0 alors les deux vecteurs sont colinéaires ils ont donc la même direction et donc la droite (AB) et la droite (CD) sont parallèle.[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Exemple :

    Et      2*12 = 24 et 4*6 = 24    24 = 24 donc les deux vecteurs sont colinéaires et la droite (AB) et la droite (CD) sont parallèle. [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

 = 3*[pic 40][pic 41]

Avec les vecteurs colinéaires on peut prouver :

• Que 3 points A, B et C sont alignés si  et  sont colinéaires.[pic 42][pic 43]
• Que deux droites (AB) et (CD) sont parallèle si  et sont colinéaires.[pic 44][pic 45]

Remarque : Si deux droites sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Exemple :

A (1 ; 1)   B (3 ; 6)   C (-1 ; -4)

        [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

        [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

 sont colinéaires car 2*-5 = -2*5 et donc A, B et C sont alignés [pic 59]

Equations de droite et vecteurs directeurs :

Toutes les droites dans un repères ont une équation de type ax+by+c = 0 avec a ou b non nul. Cette équation de droite s’appelle équation cartésienne.

Un point M (x ; y) appartient à cette droite si axm+bym+c = 0 avec toujours a ou b non nul.

Il existe plusieurs équations cartésiennes pour la même droite  

Exemple :

5x -2y + 1 = 0 c’est une équation cartésienne. Et 10x -4y +2 =0 et aussi une équation cartésienne de la même droite car on a tout fait fois 2.

A (1 ; 3) est-il sur la droite ?

On remplace dans l’équation 5x -2y + 1 = 0    5*xa -2*ya+1    5*1 -2*3 +1 = 0       5+1 -6 = 0      6 -6 = 0 le point A est sur la droite d’équation 5x -2y + 1 = 0.

...