Rapport : Loi géométrique

SOMMAIRE

1. Définition

2. Représentation graphique

3. Espérance, variance, écart type

4. Propriété caractéristique

5. Exemples

6. Sources

Rapport : Loi géométrique 2

1. Définition

Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre p et X la variable aléatoire comptant le nombre de répé66ons nécessaires de ce8e épreuve pour obtenir un premier succès.

Le premier succès ne pouvant survenir qu’après au moins une première épreuve, X prend des valeurs en6ères non nulles, donc Ω = {1, 2, 3, ..., n}.

On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p qu’on note :

X --> G(p)

La loi géométrique est une loi de probabilité discrète qui modélise l’observa6on du nombre d’épreuves de Bernoulli iden6ques et indépendantes devant se succéder pour espérer un pre- mier succès.

Propriété : Si X suit la loi géométrique de paramètre p, alors, pour tout en6er naturel k non nul.

P(X=k)=(1–p)k–1 ×p,avec1–p=qlaprobabilitéd’échec

k = 1,2, 3...

Si nous considérons que la première valeur de n est 0, alors :

P(X=k) = pq^n

Dans un schéma de Bernoulli, un seul chemin permet d’obtenir k – 1 échecs d’abord puis un suc- cès ensuite, et la probabilité de ce chemin vaut (1 – p)k–1 × p.

Rapport : Loi géométrique 3

La fonc3on de répar33on :

La fonc6on de répar66on F(n) : probabilité de réaliser au plus n 6rages pour obtenir le premier succès.

F(n) = p(X <= n) = 1- q^n

Démonstra3on :

Si nous réécrivons P(X<= n), la loi géométrique étant discrète, n ne peut être qu’un en6er naturel. Donc :

De manière simplifier, on peut réécrire la formule sous la forme :

Et donc on peut simplifier l’écriture et il nous reste bien 1 – q^n car p = 1 - q

Rapport : Loi géométrique 4

2. Représentation graphique

On peut représenter graphiquement les lois géométriques

On considère la loi géométrique de paramètre 0,2.

On a P(X = k) = (1 – 0,2)k – 1 × 0,2 = 0,2 × 0,8k – 1.

On obtient le tableau de valeurs et la représentation graphique suivants.

0,2

0,15

0,1

0,05

0

0 3 5 8 10

K

3. Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p et s’écrit :

Elle est l’inverse de la probabilité de succès. La variance V(X)

...