Les vecteurs

LES VECTEURS[pic 1]

Section 1 : Translation et vecteurs

Rappels de collège

Faire glisser une figure, c’est la déplacer sans la tourner de manière à ce que tous ses points se

déplacent sur des droites parallèles dans le même sens et de la même distance.

Transformer un point ou une figure par translation, c’est faire glisser ce point ou

cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnée

La figure violette est obtenue par translation de la figure bleue. On fait glisser chaque

point de la figure bleue de 2 carreaux horizontalement et d’un carreau verticalement.

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                       ⃗Translation de vecteur 𝐴𝐵[pic 2]

           Définition : Soient A et B deux points distincts du plan.

                                                                        ⃗La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur 𝐴𝐵

                                                 ⃗Ainsi, on associe à cette translation le vecteur 𝐴𝐵 qui symbolise le déplacement de A vers B. On le

représente par une flèche allant de A à B.

Un vecteur a donc :

 Un sens

 Une longueur

 Une direction

Ex :

                                                  ⃗F’ est l’image de F par la translation de vecteur 𝐴𝐵

Définition : Deux vecteurs opposés ont même direction, même longueur mais sont de sens contraires.

                          ⃗⃗Par exemple, les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 sont des vecteurs opposés.

Ex 41,43,42,44 page 289

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Section 2 : Egalité de vecteurs[pic 3]

                    Définition : Soient A, B, C et D quatre points du plan.

              ⃗⃗Les vecteurs 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐶𝐷 sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens et la même

                                                                                             ⃗longueur, autrement dit cela signifie que D est l’image de C par la translation de vecteur 𝐴𝐵.

        ⃗⃗On note 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.

Ex :

                          ⃗⃗Dans l’exemple ci-dessus, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

                        ⃗⃗⃗⃗Remarque : les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 sont des vecteurs opposés. On peut aussi écrire 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴

 Propriétés : Soient A, B, C et D quatre points du plan

  ⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 si et seulement si ABDC est un parallélogramme

 ⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu

                                                                          ⃗Remarque importante : Il existe une infinité de vecteurs égaux au vecteur 𝐴𝐵

                 ⃗⃗⃗Par exemple, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐸𝐹 dans le dessin ci-dessous. Ces vecteurs désignent en fait un unique

vecteur que l’on peut noter 𝑢⃗.

  ⃗ ⃗⃗𝐴𝐵, 𝐶𝐷 𝑒𝑡 𝐸𝐹 sont appelés représentants du vecteur 𝑢⃗

𝑢⃗

Ex 38,39,40 page 288 + Ex 102,103 page 296

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Section 3 : Coordonnées d’un vecteur dans un repère[pic 4]

Définition : Soit 𝑢 un vecteur. Par la translation de vecteur 𝑢 le point O se transforme en M.⃗⃗,

 On appelle coordonnées de vecteur 𝑢 les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J)⃗

                                                   ⃗tel que 𝑂𝑀 = 𝑢⃗.

                                  On note 𝑀(𝑥; 𝑦) 𝑒𝑡 𝑢⃗

⃗𝒖

O

                                                                                             ⃗Ainsi, si (𝑥 ; 𝑦) sont les coordonnées d’un point M, alors les coordonnées du vecteur 𝑢 tel que 𝑂𝑀 = 𝑢⃗⃗

sont également (𝑥 ; 𝑦). Dans l’exemple précédent, M a pour coordonnées (1 ; 2) alors 𝑢 a également⃗

pour coordonnées (1 ; 2).

                                                    ⃗Propriété : Dans un repère, si 𝐴(𝑥 ; 𝑦 ) 𝑒𝑡 𝐵(𝑥 ; 𝑦 ) alors 𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥 ; 𝑦 − 𝑦 )

                                ⃗Exemple : 𝐴(−2; 3) 𝑒𝑡 𝐵(0; 6) alors 𝐴𝐵 a pour coordonnées (0 − (−2); 6 − 3) ie (2; 3)

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Propriété : Dans un repère, on a 𝑢 𝑦) et 𝑣 ; 𝑦 )⃗(𝑥;⃗(𝑥[pic 5]

 Dire que 𝑢 = 𝑣 revient à dire que 𝑥 = 𝑥 et 𝑦 = 𝑦′⃗ ⃗

Ex : Dans un repère (O, I, J), on considère les points 𝐴(2; 2), 𝐵(3; 4), 𝐶 (4; 2), 𝐷(6; 1), 𝐸 (7; 2), 𝐹(8; 4)

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