Les vecteurs niveau 1S

1. Colinéarité de deux vecteurs

1. Généralités

Définition 1 : Soient  deux vecteurs non nuls. Dire que les vecteurs  sont colinéaires signifie qu’ils ont la même direction (ils sont « portés » par des droites parallèles)[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

                                            [pic 9][pic 10]

Par convention, le vecteur nul  est colinéaire à tout vecteur.[pic 11]

Théorème 1 : , non nuls, sont colinéaires ssi il existe un réel  non nul tel que u = k x v[pic 12][pic 13]

Conséquences :

• Trois points distincts du plan A, B et C sont alignés si les vecteurs sont colinéaires[pic 14]

Remarque :  .[pic 15]

• Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, (AB)//(CD) si  sont colinéaires[pic 16]

Remarque : il est de même pour [pic 17]

1.  Caractérisation analytique de la colinéarité

Propriété 1 : Dans un repère, les vecteurs  sont colinéaires ssi [pic 18][pic 19]

Remarque :  sont colinéaires ssi [pic 20][pic 21]

  : voir cours papier

Ex 1 : les vecteurs  sont-ils colinéaires ?  [pic 22]

Ex 2 : On considère un repère du plan, soit k un réel positif et les points suivants :

  . Pour quelle valeur de k les points A, B et C sont-ils alignés ?[pic 23]

1. Décomposition d’un vecteur

1. Base du plan

Définition : On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non-colinéaires

Autrement dit : Deux vecteurs  non colinéaires forment une base. On la note .[pic 24][pic 25]

Ex3 : Les côtés d’un triangle ABC non aplati permettent de former des bases.

A                                       A                                               A                                             A

[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

        B                      C              B                       C                  B                        C                    B                         C

Base                       Base                      Base                         Base [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

...