Grand Oral, comment déterminer une valeur approchée de Pi ?

Comment déterminer une valeur approchée de PI ?

INTRODUCTION:

Depuis plus de 4000 ans, Pi intrigue et passionne les mathématiciens. Pi est défini pour la première fois en 1800 avant JC dans le papyrus de RHIND comme étant le rapport constant entre la circonférence et le rayon d’un cercle.

Mais les travaux les plus reconnus sont ceux d'Archimède faits 3 siècles av JC.

Méthode de Monte Carlo

Imaginez un carré que l'on découpe en 4 carrés de même taille.

On va lancer au hasard des fléchettes au hasard dans le grand carré.

La probabilité qu’une fléchette touche le carré hachuré ( haut/ droit ) .

Intuitivement c’est ¼.

Dans un repère orthonormé :

On s'intéresse à un seul quart de cercle (haut/ droite ).

Ce quart de cercle est compris dans un carré de côté 1.

On ne s'intéresse ici qu’au carré.

Si on lance une fléchette, quelle est la probabilité qu’elle soit comprise dans l’arc de cercle?

La probabilité est égale au rapport de la surface voulue et de la surface totale.

p= A voulue / A totale.

Ici l’aire totale est celle du carré de côté 1, soit 1

Et l’aire voulue est égale à un quart de l’aire du cercle.

Formule A = Pi x RxR

Dans le cercle trigonométrique le rayon est de 1. donc l’aire est de :

A = Pi x 1 x 1

A = Pi

Donc l’aire du quart de cercle est de PI/4 .

La probabilité voulue est donc de (Pi/4)/1 soit Pi/4

On a donc p= Pi/4 .

mais nous voulons une valeur approchée de Pi

Si on transforme l’équation précédente on trouve;

Pi= 4*p.

On a donc ici une formule pour calculer une valeur approchée de Pi.

Pour calculer Pi il nous faut avoir cette probabilité.

J’ai donc codé un programme un python permettant de calculer cette probabilité.

On a donc le programme suivant:

From random import *

s=0

n=100

for i in range(n):

x=random()

y=random()

if (x*x)+(y*y) <= 1:

s=s+1

...