Analyse quantitative de problèmes de gestion

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[pic 5] Solution pour k variables : forme standard et solution de base

 PROBLÈME : Maximiser z = x1 + 7x2 sujet aux contraintes

x1 + x2 ≤ 8

−2x1 + 3x2 ≤ 6

x1 − x2 ≤ 2

où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

FORME STANDARD :

Maximiser z = x1 + 7x2

 sujet aux contraintes

x1 + x2 + x3 = 8

−2x1 + 3x2 + x4 = 6

x1 − x2 + x5 = 2

où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

Il y a 5 variables et 3 équations cela veut dire qu’il y a

􀀀5

3

_

= 10 solutions de bases possibles.

UNE SOLUTION DE BASE :

Pour obtenir une solution de base il faut poser 2 variables à 0 (variables hors base) et

solutionner par rapport aux autres.

Si on pose x1 = x2 = 0 alors x3 = 8, x4 = 6 et x5 = 2. Les équations deviennent

0 + 0 + x3 = 8

0 + 0 + x4 = 6

0 − 0 + x5 = 2

Une solution de base est donc

(x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, 8, 6, 2)

PROBLÈME Maximiser z = 5x1 + 5x2 sujet aux contraintes

x1 + x2 ≤ 8

−2x1 + 3x2 ≥ 6

x1 − x2 ≤ 2

où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

FORME STANDARD : Maximiser z = 5x1 + 5x2 sujet aux contraintes

x1 + x2 + x3 = 8

−2x1 + 3x2 − x4 = 6

x1 − x2 + x5 = 2

où x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

Il y a 5 variables et 3 équations cela veut dire qu’il y a

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