La loi normale

Loi Normale

1. Rappels:

Un schéma de Bernoulli B (n ; p) est constitué de n répétitions dans des conditions indépendantes d’une expérience aléatoire à deux issues , p étant la probabilité d’un succès.

Considérons un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

On définit une variable aléatoire        X        à laquelle on associe le nombre de succès.

Exemple. Je joue 30 fois de suite à pile ou face. Je gagne à chaque pile. On a ainsi B (30 ; 0,5) .

p( X =10)        est la probabilité de faire 10 piles. Si vous reprenez votre cours de première sur la loi binomiale (ce qui n’est pas obligatoire) vous trouverez        p( X =10)≃0,027 .

Quand on représente la situation graphiquement, la courbe des        p( X =k ) obtenue est du type:

0,16[pic 1][pic 2]

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0

0        5        10        15        20        25        30        35

1. Définition:

Plus n est grand, plus les points obtenus tendent vers une courbe « en cloche » appelée aussi courbe de Gauss.

Par exemple B(300 ; 0,3), la courbe devient :

0,06[pic 3]

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0

0        50        100        150        200        250        300        350

Exemples de courbes de Gauss :[pic 4]

C’est la même courbe, plus ou moins écrasée, et centrée différemment.

[pic 5]

Cette courbe est la courbe d’une fonction qu’on appelle densité de probabilité. Elle définit une nouvelle loi de probabilité qu’on appelle loi normale.

1. Caractéristiques de la loi normale:

Les deux paramètres qui définissent une loi normale sont :

• son espérance, notée   μ        (lu « mu »)
• son écart-type, noté        σ        (lu »sigma »).

Remarque : au lieu d’espérance, on dit parfois moyenne (par exemple sur les tableurs). L’écart-type est un paramètre de dispersion .

Formules à connaître par cœur :[pic 6]

[pic 7]

1. Loi normale et aire:

p(a⩽X ⩽b) est égale à l’aire bleue.[pic 8][pic 9]

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