La loi normale
Cours : La loi normale. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Boubou RZ7 • 7 Mars 2022 • Cours • 1 347 Mots (6 Pages) • 398 Vues
Chapitre 5
La loi normale
On observe souvent des distributions avec une forme de cloche et symétriques autour de la moyenne.
On appelle ce modèle la loi normale. C’est la loi la plus importante !
Loi normale est une loi continue qui dépend de deux paramètres : (moyenne) et (variance)[pic 1][pic 2]
Si X suit une loi normale on note : )[pic 3]
Une densité de probabilité est une fonction qui permet de faire des calculs de probabilités à l’aide d’intégrales.
Remarque : Informellement, une densité de probabilité peut être vue comme la limite d’un histogramme.
Exemple : Étude sur le QI (quotient intellectuel) de 515 enfants de même âge, [pic 4]
[pic 5]
En rose, on a la courbe de la loi normale) [pic 6]
La fonction de densité pour la loi normale est donnée par :[pic 7]
Par des techniques de calcul numérique (en mesurant l’aire sous la courbe pour différentes
valeurs de x), on a pu constituer des tables donnant P(x<a) si , et ensuite pour une loi normale quelconque[pic 8][pic 9]
Loi normale centrée-réduite
Si, on appelle loi normale centrée-réduite et on note)[pic 10][pic 11][pic 12]
Calculs pratiques à l’aide de la table pour la loi normale centrée-réduite pour : P () ou P ( [pic 13][pic 14]
P () ou P ( =aire grisée à gauche d’un point u (notée aussi dans divers livres par F(u) ou )[pic 15][pic 16]
On lit dans la table : P (Z < 0,64) =0,7389 [pic 17]
Remarque : Pour la loi normale on a : P ()= 0 (car P ()= P (u [pic 18][pic 19][pic 20]
et par conséquence P ( = P () + P (Z=u)= P () +0 = P ()[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
Il n’est donc pas nécessaire de considérer les égalités lorsque la variable aléatoire est normale.
Exercices : Calculer les probabilités : P (, P (, P (, P (, P (0P (=[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
Remarque : On pourra dire que pour 94,06 % des individus, la variable Z est inférieure ou égale à 1,56
P (= P (= P (=[pic 31][pic 32][pic 33]
P (0=[pic 34]
En résumé : Si) alors :[pic 35]
P ([pic 36] | On utilise la table de la loi normale |
P ()[pic 37] | On utilise P () = 1 - P ( et la table[pic 38][pic 39] |
P(a[pic 40] | On utilise P (a= P (- P ( et la table[pic 41][pic 42][pic 43] |
Calculs pratiques pour une loi normale quelconque
Si) on se ramène à la loi) en utilisant la propriété : la variable aléatoire [pic 44][pic 45]
[pic 46]
est de loi N(0,1).
Par exemple : On cherche P () si )[pic 47][pic 48]
Étapes :
- on soustraire : P ()[pic 49][pic 50]
- On divise par : [pic 51][pic 52]
- On cherche dans la table car est de loi N(0,1).[pic 53][pic 54]
Donc, la probabilité P ()=[pic 55][pic 56]
Exemple : P ( si )[pic 57][pic 58]
- on soustraire …
- on divise par…
- on cherche dans la table …
Calcul inverse
Exemple : Si) quelle la valeur de u pour laquelle P (=0,9744[pic 59][pic 60]
Dans ce cas, on cherche dans le corps de la table (et non dans les marges) la valeur la plus proche de 0,9744 et on trouve u=1,95 (l’intersection de la ligne 1,90 et de la colonne 0,05).
Donc P (=0,9744[pic 61]
Exercices 1) ) déterminer la valeur de u telle que P(X<u) =0,90[pic 62]
) déterminer la valeur de telle que P (X < 2) =0,6915[pic 63][pic 64]
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