Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale

INTERVALLES DE CONFIANCE

LOI NORMALE N(¹; ¾2)

Soit µ un param`etre inconnu : µ 2 £ ½ IR.

Plutˆot que d’´ecrire s´echement : µ ' c sans donner d’information sur la pr´ecision du r´esultat, il

est souvent plus r´ealiste et int´eressant de fournir un intervalle dont on a (et on donne) de bonnes

raisons de penser qu’il contient la vraie valeur du param`etre µ. Il s’agit alors d’estimation par

intervalle.

D´efinition : On appelle intervalle de confiance de niveau (1¡®) pour le param`etre µ, l’intervalle

al´eatoire [l(X);L(X)] tel que :

P [l(X) · µ · L(X)] = 1 ¡ ®

Les statistiques l(X) et L(X) s’appellent les limites de confiance inf´erieure et sup´erieure (respectivement)

pour µ.

1 Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale

1.1 ¾2 est suppos´e inconnu

Soit X = (X1; : : : ;Xn)T un ´echantillon normal :

Xi » N(¹; ¾2)

On consid`ere ici le probl`eme d’estimation de ¹ par intervalles dans le cas o`u ¾2 est inconnu.

Or, on sait que ¯Xn est le meilleur estimateur sans biais pour ¹ et que la variable al´eatoire

Tn¡1 =

p

n

¯X

n¡¹

Sn

suit la loi de Student `a (n ¡ 1) degr´es de libert´e.

Rappel : Soit sº(x) la densit´e de la loi de Student `a º ddl :

sº(x) =

¡

³

º+1

2

´

p

º¼ ¡

¡ º

2

¢

Ã

1 + x2

º

!¡º+1

2

8x 2 IR

sº(x) est une fonction paire. Son graphe est donc sym´etrique par rapport `a l’axe y0Oy :

Pour tout ® 2]0; 0; 5[ on peut trouver les valeurs tn¡1(®) et ¯tn¡1(®) telles que :

P [Tn¡1 · tn¡1(®)] = ®

P [Tn¡1 · ¯tn¡1(®)] = 1 ¡ ®

tn¡1(®) = ®-quantile inf´erieur

¯tn¡1(®) = ®-quantile sup´erieur

1

Par sym´etrie de la courbe repr´esentative de sº(x) on a :

tn¡1(®) = ¡¯tn¡1(®)

Et on a :

P [tn¡1(®) · Tn¡1 · ¯tn¡1(®)] = 1 ¡ ® ¡ ® = 1 ¡ 2®

, P [¡¯tn¡1(®) · Tn¡1 · ¯tn¡1(®)] = 1 ¡ 2®

Pour d´eterminer l’intervalle de confiance de niveau 1 ¡ ® on a en fait besoin de ¯tn¡1(®

2 ) car :

P

·

¡¯tn¡1

µ

®

2

¶

· Tn¡1 · ¯tn¡1

µ

®

2

¶¸

= 1 ¡ 2®

2

= 1 ¡ ®

On obtient ainsi :

P

"

¡¯tn¡1

µ

®

2

¶

·

p

n

¯X

n ¡ ¹

Sn

· ¯tn¡1

µ

®

2

¶#

= 1 ¡ ®

Or :

p

n

¯X

n ¡ ¹

Sn

· ¯tn¡1

µ

®

2

¶

, ¯Xn ¡ ¹ ·

Spn

n

¯tn¡1

µ

®

2

¶

, ¹ ¸ ¯Xn ¡

Sn p

n

¯tn¡1

µ

®

2

¶

et :

p

n

¯X

n ¡ ¹

Sn

¸ ¡¯tn¡1

µ

...