Loi normale, courbe de Gauss

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1. Loi normale, courbe de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand surnommé « le prince des mathématiciens ».

1.1        Loi normale standard

[pic 2]

1. 1.1.1        Densité de probabilité de Laplace-Gauss

Définition :

1        −2x2 On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction ϕ définie sur R par :        ϕ(x) =p2πe

Sa représentation graphique s’appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche.

La fonction ϕ est continue, dérivable, strictement positive sur R

Elle est paire donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (très important cette symétrie). ϕ′rappel : (eu)′ = eu×u′

π[pic 3]

On a ϕ′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0        ϕ admet en 0 un maximum égal à [pic 4]

        [pic 5]        [pic 6][pic 7][pic 8]

        .        1        1         par composition de fonctions, limx→−∞ p

0 

1. X→+∞

De même, par symétrie, lim ϕ(x)= 0 x→+∞

La courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 en −∞ et +∞

[pic 9]

1. 1.1.2        Fonction de répartition

On définit pour tout nombre x, la fonction de répartition Φ(x) = P(Z ≤ x) et on admet que Φ′(x) =ϕ(x) Comme ϕ(x) > 0, Φ est croissante sur R

[pic 10]

alors :(par symétrie)        xlim Φ(x) = 0        x→+∞lim Φ(x) = 1[pic 11]

→−∞ b

Za ϕ(x) dx =Φ(b)−Φ(a)

ci-dessous, P(Z < 1)=Φ(1)≈ 0,84 et l’image de 1 est bien environ 0,8 sur la courbe de droite ci-dessus. ci-dessous, P(Z <−1)=Φ(−1) ≈ 0,16 et l’image de −1 est bien environ 0,16 sur la courbe de droite ci-dessus.

1. 1.1.3        Calculs de probabilités, utilisation de symétries

[pic 12]

a

a > 0        P(Z < a) =Φ(a)        de la courbe)> 0        P(Z > a) = 1−Φ(a)        (on utilise la symétrie

[pic 13]

a > 0        P(Z <−a) = P(Z > a)= 1−Φ(a)        a > 0        P(Z >−a)= P(Z < a) =Φ(a)

1. 1.1.4        Règles de calcul, a de signe quelconque

[pic 14]        [pic 15]−4 −3 −2 −1        1        2        3        4        −4 −3 −2 −−a1        1        2        3        4[pic 16]

P(

P(Z < a) =Φ(a)        Φ(−a) = 1−Φ(a)        Φ(−a)a−<[1−Z Φ<(aa)])==2ΦΦ((aa))−−1Φ(−a) =

1.1.5        Valeurs remarquables de la loi normale centrée réduite :

[pic 17]

−4 −3 −2 −1        1        2        3        4        −4 −3 −2 −1        1        2        3        4        −4 −3 −2 −1        1        2        3        4

P(−a < Z < a) = 0,90        P(−a < Z < a)= 0,95        P(−a < Z < a)= 0,99 pour a ≈ 1,645        pour a ≈ 1,960        pour a ≈ 2,576

Retrouver ces valeurs à la calculatrice.

CASIO : MENU STAT        F5 DIST        F1 NORM        F3 InvN

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