Les Probabilités

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Les Probabilités

[pic 4]

1. Définition des probabilités

1.  Introduction

Les probabilités seront pour nous un moyen de prévoir ce que seront les phénomènes ou les résultats d’expériences.

Il est intéressant pour nous de pouvoir dire qu’un événement A est probable ou ... improbable, et de quantifier cette probabilité.

On peut considérer qu’un événement est le résultat d’une expérience.

Exemples d’événements :

• Le 6 sort quand je lance un dé.
• Demain, il fera beau et chaud.
• Mon enfant sera un garçon.

Il est important d’être très précis au sujet d’un événement : il ne doit pas y avoir d’ambiguïté quant à cet événement. Autrement dit, il faut pouvoir être sûr de l’interprétation du résultat d’une expérience pour savoir si l’événement a eu lieu (réponse par oui ou non).

Au delà des cas ludiques ou ... météorologiques, il apparaît clairement que la possibilité de prévoir si un événement aura lieu ou n’aura pas lieu est fondamentale, en particulier dans notre entreprise et dans le cadre de la maintenance du matériel, du fait des enjeux de sécurité, fiabilité, régularité, économiques, ...

1. Vocabulaire

1. Evénement

 Ce qui peut ou non arriver à la suite d’une expérience bien définie.

 Il est élémentaire s’il est réalisé par un résultat unique.

Exemple :

Dans l’épreuve qui consiste à jeter un dé et à lire la face supérieure, il y a 6 événements élémentaires : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

1. Univers

 Ensemble des événements associés à une épreuve donnée.

Exemple :

Dans l’épreuve qui consiste à jeter un dé et à lire la face supérieure, l’ensemble des événements associés est { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, c’est un ensemble fini.

Soit X le résultat obtenu, l’événement A : (X > 3), correspond au sous-ensemble A = { 4 ; 5 ; 6 }

1. Evénement A et B

L’événement A et B est l’événement qui est réalisé si et seulement si A et B le sont tous les deux.

Il correspond à l’opérateur logique intersection (A  ∩ B)

Exemple :

Dans l’épreuve qui consiste à jeter un dé. Le résultat étant X, si A est l’événement (X est pair), si B est l’événement (X > 3), l’événement (A et B) correspond à l’intersection des sous-ensembles :

 A = { 2 ; 4 ; 6 }  et  B = { 4 ; 5 ; 6 }

A  ∩ B = { 4 ; 6 }

1. Evénement A ou B  

L’événement A ou B est l’événement qui est réalisé si et seulement si au moins l’un des deux l’est.  

Il correspond à l’opérateur logique réunion (A ∪ B)

Exemple :

Dans l’épreuve qui consiste à jeter un dé. Le résultat étant X, si A est l’événement (X est pair), si B est l’événement (X > 3), l’événement (A ou B) correspond à la réunion des sous-ensembles :

 A = { 2 ; 4 ; 6 }  et  B = { 4 ; 5 ; 6 }

A ∪ B = { 2 ; 4 ; 5 ; 6 }

La probabilité de l’événement A est un nombre compris entre 0 et 1, qui sera d’autant plus faible (proche de 0) que l’événement A sera improbable, et d’autant plus grand (proche de 1) que l’événement sera probable.

On peut dire que la probabilité de l’événement A est le pourcentage de chance que cet événement ait lieu.

Cette valeur numérique est appelée, par convention, p(A).

1. A partir de l’étude de tous les cas possibles

Nous nous situons dans le cadre d’une expérience dont nous étudions le résultat. Après avoir recensé tous les cas de résultats également possibles et tous les cas favorables, Il est possible de calculer la probabilité d’un événement A de la manière suivante :

[pic 5]

Attention : il faut que les cas soient également possibles. Ce type de calcul nécessite donc d’avoir identifié tous les cas possibles, vérifié qu’ils sont tous également possibles, et ne pourra donc pas s’appliquer à des cas très complexes. Une des premières applications venant à l’esprit porte sur les expériences de dés ou de cartes à jouer.

1. Exemple

Si je jette un dé une fois, quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ?

Recensement des cas également possibles lors de l’expérience :

1, 2, 3, 4, 5, 6 : il y a 6 cas possibles. Ils seront également possibles dans la mesure où le dé n’est pas truqué, c’est à dire qu’il n’y a pas un phénomène mécanique qui favorisera plus un résultat que les autres.

Recensement des cas favorables : le seul cas favorable est le cas où le 6 est sorti.

P(le 6 sortira) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%.

Ainsi, si je lance un dé, j’ai 16,67% de chance de faire 6.

1. Après un grand nombre d’expériences

Pour connaître ce que sera le résultat d’une expérience, je peux faire des simulations ou m’appuyer sur l’expérience de cas similaires déjà réalisés... Je peux en d’autres termes m’appuyer sur le retour d’expérience !

Si l’expérience dont je veux prévoir le résultat a déjà été réalisée n fois, et si le résultat dont je cherche à connaître la probabilité a été obtenu k fois sur les n, on sent bien intuitivement que la probabilité d’observer le résultat recherché est proche de la fréquence d’observation de l’événement A : k/n. On peut même affirmer que :

...