Calcul Des Probabilités

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Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger

settati_adel@yahoo.fr Année universitaire 2012-2013

(portail E.E.A et G.ID )

Calcul des Prbabilités

Cours et Exercices

Pour

Génie Industriel

&

Génie Electrique- Electronique

Par

Settati Adel

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Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et

de la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et les

lois de probabilités d’usage courant.

Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes références, des ouvrages

reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de

plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance.

Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestions

ou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.

Table des matières

Introduction 5

1 Calcul des probabilités 7

1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise) 8

1.2.2 Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise) 9

1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . . 9

1.3.2 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2 Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 19

2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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4 TABLE DES MATIÈRES

2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 23

2.3.5 Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . . 27

2.5.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 28

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 31

3.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.3 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 La loi exponentielle . . . . . . . .

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