Exercice de Probabilité

Exercice 3. Le temps d’attente T dans une file au MONOPRIX suit une loi exponentielle de moyenne 3 minutes.

1. Quelle est sa variance?

2. Si j’ai d´ej`a attendu 4 minutes, quelle est la probabilit´e que j’attends encore 2 minutes?

3. V´erifier que P(T > a|T > b) = P(T > (a − b)) pour 0 ≤ b ≤ a. Autrement dit, le temps que je dois encore attendre ne d´epend pas du temps que j’ai d´ej`a attendu. On dit que la loi exponentielle est un processus sans m´emoire.

Exercice 4. Air-Andorra n’a que des avions avec 160 si`eges. Sachant qu’un client sur dix ach`ete un billet et ne se pr´esente pas au vol, pour optimiser son profit la compagnie mets en vente plus de billets qu’il n’y a de si`eges disponibles. Quel est le nombre maximum de billets qu’Air-Andorra peut vendre sur un vol pour qu’elle puisse placer tous les voyageurs ayant acheter un billet qui se pr´esentent `a l’embarquement avec une probabilit´e sup´erieure `a 0,99?

Exercice 5. On s’int´eresse au nombre de piles obtenu quand on lance une pi`ece de monnaie non truqu´ee 1000 fois. Donner une estimative sur la probabilit´e que ce nombre soit compris entre 470 et 530?

Exercice 6. En 1985, on a mesur´e la fluorescence de la chlorophylle au milieu de l’oc´ean Indien `a diff´erentes profondeurs. Les mesures sont les suivantes :

Profondeur en m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fluorescence 25.0 25.2 25.4 26.2 28.0 28.5 29.4 30.0 31.1 32.3 32.4 32.5 32.6 32.9

Profondeur en m 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Fluorescence 33.2 33.4 33.7 33.8 34.1 34.4 34.7 34.9 35.1 35.6 36.0 36.3 36.7 37.0

1. Calculer la moyenne, la variance et l’´ecart-type de cet ´echantillon E.

2. On s’int´eresse maintenant aux deux sous-´echantillons E1,E2 correspondant respectivement aux profondeurs inf´erieures `a 14 et aux profondeurs sup´erieures `a 15. Calculer les moyennes, variances, ´ecart-type pour ces deux ´echantillons.

3. Pour chacun des trois ´echantillons E,E1,E2, d´eterminer la m´ediane, les quartilles et repr´esenter leur boite `a mous-tache.

4. On consid`ere les classes de fluorescence suivantes : C1 = {24.0 ≤ F < 27}, C2 = {27 ≤ F < 30}, C3 = {30 ≤ F < 33}, C4 = {33 ≤ F < 36}, C5 = {36 ≤ F < 39}. Calculer les effectifs dans chacune de ces classes, puis leur effectifs cumul´es croissants. Repr´esenter sur un graphe les effectifs puis les effectifs cumul´es.

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