Probabilité conditionnelle
Dissertation : Probabilité conditionnelle. Recherche parmi 301 000+ dissertationsPar Is2mael • 6 Janvier 2014 • 4 780 Mots (20 Pages) • 817 Vues
1°) Probabilité conditionnelle
1-1 Exercice
Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes
Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes
a) Représenter cette situation par un arbre
b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,
• une fille externe
• un élève externe
c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il est externe . Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
1-2 Définition
Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω ,
B un évènement tel que p(B) ≠ 0
A un évènement
La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé , notée
ou est le nombre
Exemple 1
Un élève tire au hasard et sans la montrer une carte d’un jeu de 32 cartes , il affirme qu’elle est rouge . Quelle est la probabilité que la carte tirée soit une figure ?
Exemple 2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules jaunes . On tire au hasard , successivement et sans remise deux boules de l’urne . Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
Exemple 3
Une urne contient 26 jetons sur chacun desquels est inscrite une des 26 lettres de l’alphabet . Les lettres inscrites sont toutes distinctes
On tire un jeton au hasard . Quelle est la probabilité que ce soit la lettre B sachant que la lettre tirée est une consonne ?
1-3 Propriétés
A et B deux évènements de probabilités non nulles
a)
b)
c) et deux évènements incompatibles
1-4 Partition
Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω
B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n n évènements
B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n forment une partition de Ω si
• chaque B i a une probabilité non nulle ( p(B i) ≠ 0 )
• deux quelconques d’entre eux sont incompatibles ( i ≠ j ,B i B j = )
• leur réunion est l’univers des possibles Ω (B 1 B 2 …... B n = Ω )
Exemple 1
A un évènement tel que p(A) ≠ 0 et A ≠ Ω
et forment une partition de Ω
Exemple 2
Dans une classe C , on peut réaliser une partition en considérant l’initiale du nom
Exemple 3
Dans l’expérience tirer une boule parmi 10 boules dont 2 bleues , 5 noires et
3 rouges , les évènements « tirer une boule bleue » , « tirer une boule rouge » et
« tirer une boule noire » forment une partition de l’univers des possibles Ω
1-5 Règles de construction d’un arbre pondéré
Lorsqu’une situation est représentée par un arbre pondéré
a) Les évènements qui se trouvent aux extrémités des branches primaires forment une partition de Ω
b) La probabilité d’une branche primaire est la probabilité de l’évènement qui se trouve à son extrémité
c) La probabilité d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet qui mène à son origine a été réalisé
d) La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1
e) La probabilité d’un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin
f) La probabilité d’un évènement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins
1-6 Exercice
a) Compléter l’arbre suivant
0,4
0,3
0,7
b) Calculer p(A C ) , p(A D ) , p(B E ) , p (B F )
1-7 Exercice
Jean a égaré le texte de son exercice de probabilité , mais il dispose de l’arbre ci-
dessous sur lequel il a traduit les principales données de l’exercice
1/4 B
A
1/3
B
2/5
a) Déterminer à l’aide de cet arbre , les probabilités P(A) , ,
b) Ecrire les probabilités manquantes sur les branches
c) Calculer . Ecrire ce résultat sur l’arbre
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