Théorie Des Probabilité

Historique

Article détaillé : Histoire des probabilités.

Avant que l'étude des probabilités soit considérée comme une science, l'observation du hasard dans les évènements naturels a amené les philosophes et les scientifiques a réfléchir sur la notion de liens entre évènements, causes et conséquences, et lois de la nature1. Les jeux de hasard, les situations météorologiques ou les trajectoires des astres ont faits partie des domaines étudiés2. Les explications données sont alors liées au destin, à une colère celeste ou à une présence divine2.

Il est communément admis que le début de la science des probabilités se situe au XVIe siècle avec l'analyse de jeux de hasard par Jérôme Cardan et au XVIIe siècle avec les discussions entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal au sujet du problème des partis posé par Antoine Gombaud, chevalier de Méré3. Cette nouvelle théorie est nommée géométrie alétoire par le chevalier de Méré en 1654, elle est appelée par la suite calcul conjectural, arithmetique politique et plus communément aujourd'hui théorie des probabilités3. Cette théorie, dite des probabilités modernes, est alors étudiée par de nombreux penseurs jusqu'au XIXe siècle : Kepler, Galilée, Leibniz, Huygens, Halley, Buffon, les frères Bernoulli, De Moivre, Euler, D'Alembert, Condorcet, Laplace, Fourier4,5. Elle est principalement basée sur les évènements discrets et la combinatoire.

Au début du XXe siècle, Kolmogorov fit la connexion entre la théorie de la mesure de Borel, la théorie de l'intégration de Lebesgue et les probabilités5.

Des considérations analytiques ont forcé l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées par Andreï Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités modernes.

Définition

Suivant les époques ou les domaines d'application, la théorie des probabilités peut prendre des noms différents : la théorie de la probabilité mathématique6, le calcul des probabilités7, ou plus simplement les probabilités bien qu'il ne faille pas confondre avec la probabilité d'un évènement qui est l'évaluation de son caractère probable ou une probabilité qui est une loi (ou mesure) de probabilité.

Il a été difficile de donner une définition de la théorie des probabilités. Dans son cours vers 1893, Henri Poincaré s'exprime ainsi : « On ne peut guère donner de définition satisfaisante de la Probabilité. On dit généralement ... etc »a 1. Cependant, il est toujours fait mention de l'étude de notions comme le hasard, l'aléa, la chance ou encore le caractère probable d'un évènement. Une définition peut être donnée sous la forme :

La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitudeb 1,a 2.

C'est-à-dire que la théorie des probabilités est un domaine des mathématiques. Ce n'a pas toujours été le cas, cette théorie a été rattachée à la théorie des jeux de hasarda 3, à la philosophie8, les géomètres ont été parmi les premiers scientifiques à utiliser le calcul des probabilités9. Il est à noter que le groupe mathématique Bourbaki, créé en 1930 et dont le but est de proposer une présentation cohérente des mathématiques, a été critiqué pour ne pas avoir pris suffisamment en considération la théorie des probabilités : « Bourbaki s'est écarté des probabilités, les a rejetées, les a considérées comme non rigoureuses et, par son influence considérable, a dirigé la jeunesse hors du sentier des probabilités. » soulignait Laurent Schwartz dans son autobiographiea 4.

Axiomatique

Andreï Kolmogorov

Andreï Kolmogorov

Articles détaillés : Axiomes des probabilités et Espace probabilisé.

Pour pleinement appartenir aux mathématiques, la théorie des probabilités a eu besoin d'une axiomatique. Plusieurs constructions sont proposées au début du XXe siècle comme la théorie des collectifs de Richard von Mises ou l'axiomatique de Andreï Kolmogorov. Cette dernière étant la plus pratique des axiomatiques disponibles à l'époque a été adoptée définitivement par les scientifiques à partir de 1950a 5. Elle a permis de pouvoir étudier le calcul des probabilités au-delà des probabilités finies, dites théorie discrète des probabilités et de considérer un cadre plus général pour la théorie des probabilités. Dans cette axiomatique, la théorie des probabilités est basée sur un espace probabilisé et ainsi beaucoup de notions correspondent à des notions de la théorie de l'intégration10. Cependant dans la théorie des probabilités, le but est de proposer un modèle pour une expérience aléatoire.

Un ensemble, souvent noté \scriptstyle \Omega, représente l'ensemble de toutes les éventualités possibles, c'est-à-dire qu'il donne tous les hasards différents de l'expérience10. Cet ensemble est également appelé univers des possibles.

Un ensemble \scriptstyle \mathcal A contient les événements qui regroupent les éventualités pour lesquelles une certaine propriété est vérifiée. Ces évènements représentent les ensembles de possibilités pour lesquels on cherche la probabilité. Mathématiquement, un élément \scriptstyle A\in \mathcal A est un sous-ensemble de \scriptstyle \Omega et l'ensemble d'ensembles \scriptstyle \mathcal A est une tribu10.

L'espace \scriptstyle (\Omega,\mathcal A) est muni d'une mesure de probabilité afin de pouvoir calculer la probabilité d'une situation liée à l'expérience aléatoire. Mathématiquement, cette mesure de probabilité est une fonction qui à chaque évènement \scriptstyle A\in \mathcal A associe une valeur entre 0 et 1, dite probabilité de l'évènement A. Cette probabilité \scriptstyle \mathbb P vérifie les trois axiomes des probabilités11 :

(positivité) la probabilité d'un évènement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout \scriptstyle A\in \mathcal A, \scriptstyle 0\leq

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