La Factorisation

En mathématiques, un facteur est l'un des éléments constitutifs d’un produit.

Par exemple, le produit « 2 × 3 » comporte deux facteurs « 2 » et « 3 », ou encore « 3 × 7 × 12 » admet « 7 » comme facteur.

Factorisation

Mettre en facteurs, décomposer en facteurs ou factoriser un nombre ou une expression algébrique, c'est en rechercher les facteurs, s'ils existent : on considère généralement que certaines factorisations dites triviales, comme 19=1\times 19, ou x^2-1=(-1)\times (1-x^2), « ne comptent pas », c'est pourquoi on dit que, par définition, un nombre premier ne peut être factorisé, puisqu'il comporte comme seuls diviseurs lui-même et 1.

Un problème important, objet de nombreuses recherches aussi bien en mathématiques qu'en algorithmique est la décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; ce problème a en particulier des applications en cryptographie.

Dans une expression algébrique, factoriser, c'est utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, pour transformer l’expression en un produit : a, b et c étant donnés, la relation

a×b + a×c = a×(b + c)

permet de mettre a en facteur.

Plus généralement, étant donné a1, a2, …, an, a, la relation a×a1 + a×a2 + … + a×an = a×(a1 + a2 + … + an) permet de mettre a en facteur. a est appelé facteur commun.

Exemple

Dans l'expression :

A =(x-2)(3x+5)+(2x+7)(2-x)

on peut mettre (x - 2) en facteur, soit :

A = (x-2)[(3x+5)-(2x+7)]

A = (x-2)(x-2)

A = (x-2)^2

Pour factoriser, les identités remarquables peuvent être d'une grande utilité.

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