Développer et factoriser
Synthèse : Développer et factoriser. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Fataleeee • 1 Novembre 2019 • Synthèse • 872 Mots (4 Pages) • 717 Vues
nt dit :
I - D ́evelopper
. . . × . . . × . . . ←− . . . + . . . + . . .
Re ́sume ́ : de ́velopper & factoriser
Les m ́ethodes de d ́eveloppement et de factorisation sont a` connaˆıtre parfaitement, tant elles sont ́el ́ementaires et donc indispensables. Il n’y a en r ́ealit ́e que trois ≪ types ≫ de for- mules : simple distributivit ́e, double distributivit ́e et les identit ́es remarquables. D ́evelopper ou factoriser, c’est utiliser un de ces types dans un sens ou un autre.
Pr ́ecisons, a` toute fins utiles, les termes d ́evelopper et factoriser :
∗ d ́evelopper une quantit ́e, c’est partir d’un produit et le pr ́esenter sous la forme d’une somme. Typiquement :
. . . × . . . × . . . −→ . . . + . . . + . . .
∗ factoriser une quantit ́e, c’est partir d’une somme et la pr ́esenter sous la forme d’un
Mˆeme si on pr ́esente trois ≪ m ́ethodes ≫ pour d ́evelopper ici, toutes ont la mˆeme origine : la simple distributivit ́e (et c’est un excellent exercice de calcul alg ́ebrique ́el ́ementaire d’essayer de le d ́emontrer).
1 - Par simple distributivit ́e
C’est la formule la plus ́el ́ementaire : pour tout r ́eel x, y et tout r ́eel z :
x(y + z) = xy + xz. (1)
Bien ́evidement, la simple distributivit ́e se fait aussi par la droite.
(x + y)z = xz + yz. (2)
La simple distributivit ́e peut se faire sur deux quantit ́es ou plus, typiquement : x(y + z + t) = xy + xz + xt. (3)
On peut en donner quelques exemples :
(a) x(2 + x) = x × 2 + x × x = 2x + x2 ;
(b) (x2 − x + 1)x = x2 × x − x × x + 1 × x = x3 − x2 + x ;
(c) −(1−x)=(−1)(1−x)=(−1)×1−(−1)×x=−1+x.
2 - Par double distributivit ́e
Le principe est le mˆeme, mais on enchaˆıne la distribution simple par la gauche (ou la droite) terme par terme. Autrement dit, pour tout r ́eel x, y, z et tout r ́eel t on a :
(x + y)(z + t) = xz + xt + yz + yt.
De mˆeme, on peut utiliser la r`egle des signes et d ́evelopper par la droite. Quelques exemples :
(a) (x + 1)(3 + x) = 3x + x2 + 3 + x = x2 + 4x + 3 ;
(b) (1−x)(x−x2)=x−x2 −x2 +x3 =x3 −2x2 +x. 3 - Via une identit ́e remarquable
Elles sont la cons ́equence de la double distributivit ́e. On en d ́enombre bien plus que trois en math ́ematiques, mais vous devez retenir uniquement (pour le mo- ment) les trois ci-dessous. Pour tout r ́eel a, tout r ́eel b :
(a+b)2 =a2 +2ab+b2 (4)
(a−b)2 =a2 −2ab+b2 (5) (a+b)(a−b)=a2 −b2. (6)
Ces trois formules sont a` utiliser sans chercher
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