La Factorisation

Les 5 méthodes de factorisation

1) Mise en évidence des facteurs communs:

Lorsque tous les termes d'un polynôme renferment des facteurs communs, on commence toujours par les

mettre en évidence.

Exemples: 7a2x4 – 14a2x2 – 7a3x = 7a2x(x3 – 2x – a)

(x–1)(x2– 4) – (x–1)(x–2) + 5(x–1) = (x–1)(x2– 4 –x+2+5) = (x–1)(x2–x+3)

Exercices: (a – b) + x(a – b) =

7xm+3yn-2 + 14xmyn+1 + 21xm-3yn+4 =

2) Méthode des identités:

On utilise les identités remarquables

Exemples: 4x2y2 – a2 = (2xy + a)(2xy – a)

x4 – y4 = (x2 + y2)(x2 – y2) = (x2 + y2)(x – y)(x + y)

(x2 + y2 n'est pas décomposable dans IR)

a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

64x6 – 27y3 = (4x2)3 – (3y)3 = (4x2 – 3y)(16x4 + 12x2y + 9y2)

8x3y3 + 1 = (2xy)3 + 13 = (2xy + 1)(4x2y2 – 2xy + 1)

8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3 = (2x – 3y)3

x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)(x4 – x2y2 + y4)

x2 + y2 + 1 – 2xy + 2x –2y = (x – y + 1)2

Exercices: a2x2 – 81x2 = x11y4 – x5y10 =

64x6 – 1 = (x+a)2 – (3x–2a)2 =

3) Méthode des groupements:

I. Avant d'appliquer les méthodes précédentes, il peut être nécessaire de grouper convenablement les

termes du polynôme.

Exemples: x2 + y2 – z2 + 2xy = (x2+2xy+ y2) – z2 = (x + y)2 – z2 = (x+y+z)(x+y-z)

1– a2 + 2ab – b2 = 1– (a2-2ab+b2) = 1– (a–b)2 = (1-a+b)(1+a-b)

x4 – 2x3 + x – 2 = (x4–2x3)+(x–2) =x3(x–2)+(x–2) = (x–2)(x3+1)

= (x–2)(x+1)(x2-x+1)

Exercices: a2 – 2ab + b2 – 1 = x2 – 4y2 + 4y – 1 =

a2c + ac2 + a2b – ab2 – b2c – bc2 =

II. Lorsque le polynôme provient d'un produit dont le développement a été réduit, il est nécessaire, avant

d'opérer le groupement de décomposer certains termes.

Exemples: x3+4x+5 = (x3+1)+(4x+4) = (x+1)(x2-x+1)+4(x+1) = (x+1)(x2-x+5)

a3 + 3a2 – 4 = (a3– a2)+(4a2– 4) = a2(a–1)+4(a2–1) = (a–1)[a2+4(a+1)]

= (a –1)(a2+4a+4) = (a –1)(a+2)2

Exercices: x3 + 6x + 7 = 4x4 + y4 + 3x2y2 =

III. Il peut être nécessaire d'ajouter et de retrancher une même quantité pour rendre le groupement

possible.

Exemple: a4+b4 = (a4+b4+2a2b2) – 2a2b2 = (a2+b2)2 – ( 2 ab)2 =

(a2 + b2 + ab 2 )(a2 + b2 – ab 2 )

Exercices: x4+ 1 = x6 + 1 = x2 + 8x + 12=

2

4) Méthodes du trinôme de degré 2:

1er

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