Entraînement pour un DS de maths: Nombres complexes et suites

Entraînement pour le DS : Nombres complexes et suites

Exercice 1

Résoudre dans ℂ les équations suivantes :

a)

i

z+2i=4 ; b) z2−z=2 ; c) 2 z 2 – 2z+3=0 ; d) z+1z

=2 .

Exercice 2

Soit z=x+i y l'affixe d'un point M dans le plan complexe.

Pour tout z≠1 , on définit le nombre :

z '=z+1

z−1 .

Après avoir exprimé la forme algébrique de z ' en fonction de x et y , montrer que

l'ensemble des points M d'affixe z tel que z ' soit un nombre imaginaire pur est un cercle

dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 3

Dans le plan complexe, on donne les points A , B,C d'affixes respectives :

z A=−1+i √3 , z B=z A et zC=−(z A+zB) .

1. Déterminer la forme trigonométrique des nombres z A , z B et zC puis placer leurs

points images respectifs A , B,C sur le plan complexe en Annexe 1.

2. Déterminer les longueurs AB , AC ,BC .

3. En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 4

Soit (un) la suite définie par u0=0 et la formule de récurrence un+1=

4 un+3

un+2 pour tout

n≥0 .

1) Calculer u1 , u2 , u3 .

2) a) Déterminer la fonction f vérifiant un+1= f (un) .

b) Étudier le signe de f ' puis dresser le tableau de variation de f .

3) Montrer par récurrence que pour tout entier n≥0 , on a : 0≤un≤3 .

Indication : utiliser les variations de f .

Exercice 5

Soit (v n) la suite définie par v0=3 et la formule de récurrence v n+1=

3 v n

3+2 v n

pour tout

n≥0 .

1. a) Montrer par récurrence que vn>0 pour tout entier n≥0 .

b) En déduire que (vn) est une suite décroissante (c-à-d vn+1 – vn<0 pour tout entier

n≥0 ).

2. On pose wn= 3

v n

pour tout n≥0 .

a) Montrer que (wn) est une suite arithmétique de raison 2.

b) En déduire wn en fonction de n , puis vn en fonction de n .

c)

...