Nombre complexe

Chapitre 4 : Nombre complexe

I°) Introduction

L'équation x²+1=0 ou bien x²=-1 n'a pas de solutions dans R. Un ensemble de nombre plus vas contenant R ou cette équation a des solution a été inventé

II°) L'ensemble des nombre complexe

1°) écriture algébrique d'un nombre complexe

définition : on appelle l'ensemble des nombre complexe noté C un ensemble contenant R ou il existe dans C un nombre itel que i²=-1 tout élément de C s'écrit a+ib ou a€R et b€R ex:2+4i. Un nombre complexe sera souvent noté z=a+bi ou z=x+1y

Définition : Soit z€C z=a+ib ou a,b sont réels est appelé forme algébrique de z a s'appelle la partie réel de z noté Re(z) a=Re(z). b s'appelle la partie imaginaire de z noté Im(z) b=Im(z)

∆: Im(z) est un réel comme Re(z)

ex:z1=-2+5i Re(z)=-2 Im(z)=5 z2=-3i Re(z)=0 Im(z)=-3 z3=-7 Re(z)=-7 Im(z)=0

n.c particulier

si b=0 Im(z) z=a+bi= a+0i=a (a€R) z=-7/3 ; z=-2

Le n.c z est un réel si a=0= Re(z) z=a+ib=ib (b€R) ex : z=3i;-5i de tel n.c sont appelés des imaginaire pure

Théorème : Deux nombre complexe sont égaux si et seul si ils ont le meme partie réel et meme partie imaginaire

ex : a+bi z'=a'+b'i z=z' <==> a=a' et b=b' z=x+yi (l'écriture algébrique du nombre complexe est unique)

z'=(-2+i)(3-2i) trouvé x et y tel que z=z'

=-6+4i+3i-2i²= -6+7i+2= -4+7i x=-4 y=7

2°) Règle de calculer dzns C

Théorème : Soit z=a+ib z'=a+ib deux nombre complexe on définit dans C une additions et un multiple ( meme règle de calcule que dans R) avec i²=-1

Adittion: z+z'=a+bi+a'+ib'= a+a'+i(b+b')= z+z

zz' =(a+ib)(a'+ib')=aa'+aib'+a'ib – bb' =aa'+iab'+bb'+ia'b= (aa'-bb')+i(ab'+a'b)

Remarque : pas d'ordre dans C on ne peut pas comparer deux nombre complexe

3°) Représentation géométrique d'un nombre complexe

Plan (0,u, v) a tout nombre complexe z=a+ib est associé au point M(a,b). Réciproquement à toutr point M(x,y) est associé le nombre complexe z=x+iy.

|| Définition : le point M(a,b) est l'image du nombre complexe z=ai+b (l'image de z=a+ib est M(a,b). le nombre complexe z=a+ib s'appelle l'affixe du point M (a,b)

l'affixe du point M (2;3) est z 2 et 3i

P (0;-2) est z -2i

N (-1;0) est z -1

A (-3;2) est z -3 et 2i

B (0;7) est z 7i

Autre interprétation (vectoriel)

Tout nombre complexe peut etre associé z=a+ib vecteur v (a;b) réciproquement a toute vecteur v (a;b) est associé le nombre complexe z= a+ib

4°) Conjugué un nombre complexe

Définition soit z un nombre complexe z=a+ib on appelle conjugué de z, le nombre complexe z (« z barré ») z= a-ib.

z=-2+3i z= -2-3i

z= 5-2i z= 5+2i

z= -8 z= -8

z= 9i z= -9i

Interprétation géométrique

M et M' (z) sont symétrique para port à l'axe des abscisse

Remarque (important) : Soit z€C z réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle donc si et seulement si z= z (ex z=-7= -7+0i=-7) z imaginaire pure si et seulement si Re(z)=0 donc z=z (z=7i z=-7i ≡z.

A) 1et 2 soit z=a+ib (a€R, b€R) z imaginaire pur donc Re(z)=0=a donc z=ib z=-ib=-z si z=-z a-ib= -(a+ib) a-ib=-a-ib a=-a a+a=0 2a=0

Application fondamentales :

Soit z est un nombre complexe nul z=a+ib (a€R) : z=-3+i(i+1)= -3+i-1= -4+i= -4+(1)i

on a 1/z= (a-ib)/(a²+b²)= a/(a²+b²) +(-b/a²+b²) quand une fonction avec des nombre complexe un démonimateur il font multiplier augmentation et diminution par la conjugué du bas ( demonimate)

z=a+ib 1/z=(a-ib)/(a²+b²)= 1(a-ib)/(a+ib)(a-ib)= (a-ib)/(a²+b²)= a/(a²+b²) +(-b/a²+b²) ex : z=2-i/(3+i)= (2-i)(3-i)/(3+i)(3-i)= (6-2i-3i-1)/(9+1)= 5-5i/10 = 5/10 -i(5/10)

Propriété :

Pour tout z€C z+z=2Re(z) et z-z=2i Im(z)

Démonstration : z=a+ib z+z= a+ib+a-ib=2a= 2 Re(z) z-z= a+ib-a-ib= 2ib Im(z) |z|=z |a-ib|=a+ib z+z'=z+z' poser z=a+ib z'=a'+ib' z+z'=a-ib +a'-ib'= a+a'-i(b+b')= a+a' -ib -ib'= z + z'

zz'= z * z'= (a+ib)(a'+ib')= aa'+iab'+iba'+i²bb'= aa'+iab'+iba'-bb'

=i(ab'+ba')+aa'-bb'=a'a – bb' -i(a'b+ab')

z * z'= (a'-ib')(a-ib)=aa'-bb' -i(ab'+ba') on retrouve la même chose

si z'≠0 z = z = a+ib = (a+ib)(a'-ib') = aa'-iab'+iba'-i²bb' = aa'-iab'+iba'+bb' = z z' a'+ib' (a'+ib')(a'-ib') (a'²-ia'b'+aib'-i²b'² a'²+b'²

= aa'+bb'+i(ba'-ab') = aa'+bb' +i(ba'-ab') = aa'+bb' – i(ba' – ab') a'²+b'² a'²+b'² a'²+b'² a'²+b'²

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