Les nombres complexes

Chapitre 1 Nombres complexes, forme algébrique

I) l'ensemble C

        1) Le nombre i 

On admet qu'il existe un monbre notée i vérifiant i²=-1

rappel : dans l'ensemble des nombre réel un carré est toujours positif

conclusion :  i n'est pas un nombre réel car son carée n'est pas positif ou nulle

        2) Nombre complexe

définition : Un nombre complexe est un nombre qui peux s'écrire sous la forme Z=x+iy ou x et y sont deux nombre réel

exemple : Z=1+3i est un nombre complexe

          Z=√(6)-i√(6) est aussi un nombre complexe

Dans cette notation le nombre x s'appelle la partie réelle de Zet on note x=Re(Z).

Le nombre y s'apelle la partie imaginaire de Z et on note y=Im(Z)

Remarque : - La partie réelle d'un nombre complexe est un nombre réel.*

                    - La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.*

*exemple : Dans Z = 1+3i 1 est la partie réelle et 3i est la partie imaginaire  

Z est un nombre complexe écrit sous forme alégébrique si Im(Z)=0 alors on peux écrire Z=x+0i sois Z=x**

**Z est alors un nombre réel

Conclusion : R est compris dans C ( avec R ensemble des réel et C ensemble des complexes)

Losque la partie réelle d'un nombre complexe Z est nulle on peux écrire Z=0+iy sois Z=iy,

un telle nombre s'appelle un imaginaire pur.

Exemple : 5i ou i sont des nombres réel pur

        3)Opérations algébrique 

Z=x+iy et Z'=x'+iy' sont deux nombre complexe

                a) L'addition

La somme de ces deux nombres est noté Z+Z'=(x+x')+i(y+y')

Remarque : Si Z=x+iyet Z'=(-x)+(-y)i ALORS Z+Z'=0+0i=0

Dans ce cas Z' est l'opposé de Z. On note alors Z'=(-Z)

                b) La multiplication

Le produit de ces deux nombres est noté ZxZ'=(x+iy)(x'+iy')=***

***ZxZ'=xx'+ixy'+iyx'+i²yy'=xx'-yy'+i(xy'+x'y)

( Plus facile de calculer le dévellopement qu'utiliser la formule )

                c) La division pour Z différent de 0

(x+iy)(x-iy)=x²+y²

(x+iy)((x-iy)/(x²+y²))=1

((x-iy)/(x²+y²)) est l'inverse de x+iy

Z/Z' = (x+iy)/(x'+iy')=((xx'+yy')-i(xy'-x'y))/(x'²+y'²)

Pour effectuer une division on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugé du dénominateur.

Définition : Z=x+iy a pour conjugé (Z barre au dessus ) = x-iy

Remarque Z( barre barre) = Z il s'agit d'une involution

Z=2+0i et Z'=3+0i

ZxZ'=6-0+i(2x0+0x3)=6 Donc dans ce cas la formule est bonne

                d) Le module

Z(Zbarre)=x²+ y²

On appelle module de Z le nombre |Z|=Rac(x²+y²) donc Z(Zbarre)=|Z|²

4) Calcul des parties réelles et immaginaires

Sois Z=x+iy

Calculer (Z + Ż)/2 puis (Z-Ż)/2i

(Z + Ż)/2 = (x+iy+x-iy)/2 = x

(Z-Ż)/2i = (x+iy-x+iy)2i = y

Conclusion :

Re(Z) =(Z + Ż)/2

Im(Z) =(Z-Ż)/2i

II. Application géométrique des nombres complexes :

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