Théorie du signal

THEORIE DU SIGNAL

Licence Professionnel 3

Télécommunications et Technologies de l’Audiovisuel

M. SAGOU Djamako Gilles

Ingénieur Principal des Médias

Chargé de cours à l’ISTC Polytechnique

SAGOU EXPERT

Novembre 2018

PROGRAMME

Chapitre 1 : Généralités

Chapitre 2 : Analyse spectrale des signaux périodiques : Série de Fourier

Chapitre 3 : Analyse spectrale des signaux déterministes : Transformée de Fourier

Chapitre 4 : Transformée de Laplace

Chapitre 5 : Produit de convolution

Chapitre 1 : GENERALITES

1. Définitions

1. Traitement des signaux

Le traitement des signaux est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux porteurs d’informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum d’information utile sur un signal perturbé par du bruit en s’appuyant sur les ressources de l’électronique et de l’informatique.

1. Signal

Un signal est la représentation physique de l’information, qu’il convoie de sa source à son destinataire. Les signaux considérés sont des grandeurs électriques, généralement courants ou tensions.

1. Bruits

On appelle bruit, tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation du signal.

1. Rapport signal sur bruit (S/B)

Le rapport signal sur bruit (S/B) est une mesure du degré de contamination du signal par le bruit. Il s’exprime sous la forme d’un rapport de puissance :

[pic 1]

1. Classification des signaux

Différents modes de classification de modèles de signaux peuvent être envisagés. Parmi les principaux, on peut citer : les classifications phénoménologique, énergétique, morphologique et, spectrale.

1. Classification phénoménologique

Cette classification est obtenue en considérant la nature profonde de l’évolution du signal en fonction du temps. Elle fait apparaître deux types de signaux : les signaux déterministes et les signaux aléatoires.

1. Les signaux déterministes

Ils sont aussi appelés signaux certains ou non aléatoires. Leur évolution en fonction du temps, peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique approprié.

Par exemple :

• les signaux périodiques : x(t) signal périodique de période T (x(t) = x(t+kT) avec k entier relatif) ;
• les signaux non périodiques.

1. Les signaux aléatoires

Ce sont des signaux dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels, il faut se contenter d’observations statistiques.

Par exemple : le bruit

1. Classification énergétique

Du point de vue énergétique, on distingue deux grandes catégories de signaux : les signaux à énergie finie et les signaux à puissance moyenne finie.

1. Les signaux à énergie finie

Les signaux à énergie finie sont tels que :

La quantité [pic 2] est finie.

Leur puissance moyenne est nulle.

1. Les signaux à puissance moyenne finie

Les signaux à puissance moyenne finie sont tels que :

La quantité [pic 3] est finie.

[pic 4]Leur énergie totale est infinie.

1. Classification morphologique

Un signal peut se représenter sous différentes formes selon que son amplitude est une variable continue ou discrète, et que la variable libre t (temps) est elle-même continue ou discrète. On distingue aussi 4 types de signaux :

• Les signaux à amplitude et temps continus, appelés couramment signaux analogiques ;
• Les signaux à amplitude discrète et à temps continu, appelés signaux quantifiés ;
• Les signaux à amplitude continue et à temps discret, appelés signaux échantillonnés ;
• Les signaux à amplitude et temps discrets, appelés signaux numériques ou digitaux ; car ils sont représentés par une suite de nombres ou série temporelle.

1. Classification spectrale

La classification spectrale met en évidence le domaine des fréquences dans lequel s’inscrit le spectre des signaux. On distingue :

• Les signaux basses fréquences ;
• Les signaux hautes fréquences ;
• Les signaux à bande étroite ;
• Les signaux à large bande.

1. Notation particulière des signaux

Afin d’alléger les formules mathématiques décrivant certains signaux, fonctions ou opérateurs fréquemment utilisés en théorie du signal, il est avantageux de les décrire de manière simple et concise.

1. Fonction signe : sgn(t)

[pic 5]La fonction sgn(t) est définie telle que :

[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

ou sgn(t) = [pic 17]   pour t ≠ 0.[pic 18]

Remarque : On admet que sgn(t) = 0 pour t = 0.

1. Fonction saut (ou échelon) unité : [pic 19][pic 20][pic 21]

La fonction [pic 22][pic 23]est définie telle que :[pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30]=  [pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

Remarque : [pic 35][pic 36] = [pic 37]

1. Fonction rampe : r(t)

La fonction r(t) est définie telle que :

[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46][pic 47][pic 48]

1. Fonction rectangulaire : [pic 49] ou rect(t)

La fonction rectangulaire normalisée (intégrale unité), parfois appelée fonction porte, est définie de la manière suivante :[pic 50][pic 51][pic 52]

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