TD Intégrité des Structures

Ensam-Génie Energétique :

Intégrité des structures 2022-2023

TD 1

Exercice 1 : Contrainte principale et cercle de Mohr

On se place à 2 dimensions où on a le tenseur de contrainte  suivant :[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

On rappelle que la transformation par rotation d’un tenseur fait intervenir la formule suivante :

 ou  est une rotation de matrice  et  sa transposée.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

1-

Montrer avec la méthode par valeurs propres que les composantes principales  et  s’expriment de la sorte :[pic 8][pic 9]

[pic 10]

Chercher la rotation qui va permettre de trouver une matrice transformée  diagonale. [pic 11]

Trouver l’angle de la transformation. Calculer alors les extrema du cisaillement pour trouver :

[pic 12]

2-

Interpréter alors la construction de Mohr où le point M représente l’état de contrainte initial.

[pic 13]

Exercice 2 : Barre en torsion

Soit une barre cylindrique de longueur l (voir la figure ci-dessous). Elle est soumise à un moment selon l’axe Oz sur sa partie haute qui l’amène à se déplacer en torsion autour de l’axe Oz (la partie du cylindre dans le plan 0xOy est fixe ou encastrée).

[pic 14]

1. Champ de déplacement

D’après la décomposition du déplacement , exprimer le champ de déplacement, dans l’approximation des déplacements infinitésimaux, pour la torsion du cylindre de la figure ci-dessus (en utilisant le vecteur rotation  défini ci-dessus).[pic 15][pic 16]

1. Exprimer le tenseur des déplacements
2. Trouver les axes principaux de la déformation
3. Si la section n’était pas un disque (par exemple un triangle ou un carré), que se passerait-il sur les bords ?

Exercice 3 : Sphère sous pression

On considère une sphère étanche de rayon intérieur a et de rayon extérieur b. Elle est remplie de gaz sous la pression p.

[pic 17]

1. Exprimer les conditions aux limites du problème
2. Compte-tenu de la symétrie sphérique du problème, on peut supposer que le vecteur déplacement est radial et ne dépend que de la distance au centre. On a alors le champ de déplacement qui peut s’écrire de la façon suivante :

 avec [pic 18][pic 19]

1. Calculer [pic 20]
2. Calculer  et trouver une équation différentielle sur h(r) (on admettra que la symétrie du problème donne que  car pour la symétrie sphérique ).[pic 21][pic 22][pic 23]
3. Montrer que la solution du problème peut s’écrire avec la fonction  où α et β sont deux inconnues à fixer par les conditions aux limites.[pic 24]

...