Physique numérique

Table des matières

I.        INTRODUCTION        2

II.        DIFFUSION THERMIQUE        2

a)        Observation        3

b)        Résultat        3

c)        Conclusion        3

III.        EQUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE        3

a)        Loi de Fourier        5

IV.        Méthode discrétisation en différences finies        9

V.        CONCLUSION        12

VI.        Bibliographie        12

VII.        Annexe        13

1. INTRODUCTION

Dans le cadre de notre projet, on a choisi d’étudier la diffusion thermique, parce qu’on a constaté que en poursuivant le calcul, on obtiendrait une équation de la diffusion de chaleur. Cette équation permet de déterminer l’évolution de la température en fonction des coordonnées d’un point P et du temps que l’on ne saurait résoudre analytiquement que dans des cas très particuliers. Car étant une équation différentielle aux dérivées partielles non linéaire et parabolique. Par conséquent, la résolution numérique s’impose.

 Dans un premier temps, nous définirons c’est quoi la diffusion thermique en établissant l’équation de la chaleur en une dimension, dans un second temps, nous étudierons le régime stationnaire de l’équation de diffusion pour mieux fixer les idées. Et en dernier temps, nous étudierons l’équation de la chaleur en régime non stationnaire et nous utiliserons la méthode de la discrétisation en différences finies pour donner une solution approximative.

1. DIFFUSION THERMIQUE

Dans cette première partie, nous allons définir c’est quoi la diffusion. Pour le faire nous allons mettre en évidence l’expérience du physicien Hollandais du nom de Ingen Housz. Cette expérience consiste de comparer la diffusion thermique dans différents métaux. Elle sera réalisé en enduisant de cire des barres métallique. Ici nous allons utiliser que quatre métaux à savoir le fer, le cuivre, le zinc et l’aluminium. Ils ont la même géométrie. On mettra l’un des extrémités en contact avec un thermostat. Pour des raisons pratiques, nous utiliserons un bain d’eau bouillante comme thermostat tout en sachant qu’on pourra utiliser un autre thermostat.

[pic 1]

[pic 2]

1. Observation

On observe après quelques temps, une augmentation de la température en des points similaires. La température ne varie pas de la même façon dans les barres métalliques. Elle est plus ou moins lente pour d’une barre à l’autre. Au cours de l’expérience, les longueurs de cire fondue, nous permettra de comparer le comportement thermique de chaque corps. On constate que la plus grande longueur est obtenue avec le conducteur de la chaleur. Dans notre cas, nous avons le cuivre.

1. Résultat

D’après notre cours de thermodynamique, nous avons vu que lorsqu’il existe une différence de température dans un corps, il apparait un flux thermique. Ce flux est toujours dirigé de la région chaude vers la région froide. Il tend à uniformiser la température. Dans ce cas, il n’y a pas de mouvement global de substance donc pas de variation de l’énergie macroscopique. Par conséquent il n’y a pas de travail reçu. On appelle ce flux thermique un flux d’énergie interne non convectif.

1. Conclusion

Ce qui faut noter dans cette expérience :

Que la région la plus froide augmente en température au contact de la région la plus chaude du corps. Cette augmentation de température est dû à une élévation de l’énergie microscopique de vibration et de l’énergie cinétique microscopique d’agitation des molécules. Ceci s’explique aux chocs permanent entres particules.

Mais que cet échange thermique ne s’accompagne pas, à grande échelle (macroscopique), de déplacement de matière.

Cependant ce mécanisme n’intervienne que dans les solides homogènes. Car dans le milieu où la température est hétérogène est au moins le lieu des phénomènes de transfert thermique par conduction alors dans notre cas nous ne nous intéressons que la diffusion thermique.

En définitif, la diffusion thermique peut être définie comme un phénomène de transfert thermique sans déplacement macroscopique du support. Elle se produit dans un système qui est au départ hors équilibre des zones chaudes vers les zones froides. Il tend donc à harmoniser la température. De surcroit, c’est un phénomène irréversible.

Pour mieux comprendre ce phénomène, nous allons établir l’équation caractéristique de la diffusion de chaleur qui nous permettra de déterminer l’évolution de la température en fonction des coordonnées d’un point P et du temps t.

1. EQUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE

Dans cette partie, nous allons considérer un corps homogène. Soient  sa masse volumique,  sa conductivité thermique et  sa capacité thermique massique. Nous supposerons que toutes les grandeurs présentement citées constantes.[pic 3][pic 4][pic 5]

Considérons le cas où la température T est e fonction de l’abscisse x et de temps t et sans apport d’énergie autre que la conduction.

Choisissons un tube de la forme cylindrique de section  compris entre l’instant  d’abscisse respective . [pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Effectuons le bilan énergétique dans le cylindre aux différents instants.

Soient      et  énergie respective d’entrée et de sortie à l’abscisse  et  .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

 On a :

[pic 15]

[pic 16]

Où est le vecteur densité de courant thermique.[pic 17]

Appliquons le premier principe de la thermodynamique entre les deux instants.

Rappelons d’abord ce premier principe de la thermodynamique :

Le premier principe postule que la variation d’énergie interne  d’un système ne dépend que de l’état initial et de l’état final du système. [pic 18]

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