Mécanique des milieux continus

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         Ecole d’Ingénieurs de l’UIC

Vendredi 25/11/2016

Contrôle des connaissances n°1

Mécanique des Milieux Continus

Durée : 1h 45’

1. En un point donné il n’existe qu’un vecteur contrainte : vrai ou faux ? expliquer.
2. Dans un tenseur contrainte chaque colonne représente les composantes d’un vecteur contrainte image des vecteurs de la base d’étude : vrai ou faux ? expliquer.
3. Dans un domaine en équilibre les forces de volume par unité de masse sont nulles : vrai ou faux ? expliquer.
4. Soit en un point deux facettes orthogonales. Quelle est la disposition des extrémités de leurs vecteurs contraintes sur le cercle de Mohr. Justifier et illustrer par un dessin.
5. On considère le tenseur de contraintes  donné en tout point  d’un milieu continu par l’expression : [pic 3][pic 4]

[pic 5]

En négligeant les forces volumiques et en supposant le milieu en équilibre, montrer que le   tenseur considéré est stationnaire et donner alors son expression numérique en tout point.

1. Etablir les équations paramétriques du cercle de Mohr. Quelles sont les facettes qui subissent le cisaillement maximum ?
2. Que représente le tricercle de Mohr. Quelle est la valeur du cisaillement maximum ?[pic 6]

Que représentent les 3 points d’intersection du tricercle de Mohr avec l’axe horizontal ?

1. On considère le tenseur de contrainte représenté par la matrice symétrique suivante :

 = ; Montrer que les directions : = = = sont des directions principales. Quelles sont les contraintes principales correspondantes ?[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Donner la matrice de  dans la base principale. Dessiner le tricercle de Mohr. Quelle est la valeur de la contrainte moyenne . Donner le tenseur sphérique     et le tenseur déviatorique  .[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Soit le vecteur  = normal à une facette ; calculer la contrainte normale   et la contrainte tangentielle        et placer l’extrémité du vecteur contrainte correspondant sur le tricercle de Mohr.   [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Barème : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 .

Correction

1. C’est évidemment faux puisque autour d’un point donné, on peut envisager une infinité de facettes avec des vecteurs normaux différents :  [pic 22][pic 23]
2. C’est vrai et pour s’en convaincre, il suffit de calculer les vecteurs contraintes correspondants aux vecteurs de la base en appliquant à ceux-ci la relation de la question précédente.
3. C’est faux. Les forces de volume par unité de masse, par exemple le poids, ne sont pas nulles mais elles peuvent être négligeables devant les forces de surface.
4. Lorsque deux facettes sont orthogonales, leurs vecteurs normaux sont également orthogonaux et les vecteurs contraintes correspondants sont diametralement opposés sur le cercle de Mohr.

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