Les éléments finis

COMPTE RENDU TP1

Sommaire:

Introduction…………………………………………………

Exercice 1:....................................................................

• Treillis plan …………………………………………….

Exercice 2:....................................................................

• Treillis triangulaire …………………………………...

Conclusion…………………………………………………..

Introduction:

        Dans ce premier TP,nous avons découvert le logiciel abaqus, c’est un logiciel qui permet de réaliser des calculs d’éléments finis. Tout d’abord dans la première partie de ce TP nous avons donc découvert aquabus avec ses différentes commandes permettant ainsi de lancer et de réaliser le calcul souhaité. Puis dans la deuxième partie du TP, nous avons manié le logiciel afin qu’il nous soit plus familier par la suite en réalisant 2 calculs d’éléments: le premier un treillis plan et le deuxième un treillis triangulaire.

Tout d’abord afin que Abaqus puisse lancer un calcul d'élément finis, il lui faut un fichier au format .inp où nous lui enseignons différentes informations sur la géométrie de la structure ainsi que le matériau utilisé, le nombre de noeud mais aussi les forces appliquées.

Exercice 1: Trellis plan.

[pic 1]

fig.1:Schéma du treillis plan

Voici le treillis plan que nous allons devoir simuler sur Aquabus. Nous avons un treillis qui est composé de 3 barres et 4 noeuds. Nous appliquons une force (T) au noeud selon seulement la direction de X.

La première étape ici est de donc de faire un fichier .inp comme expliqué dans l'introduction. Pour ce treillis, c’est le professeur qui l’avait réaliser à notre place mais je vais quand même reprendre les points essentielles.

Ce fichier comporte plusieurs parties, tout d’abord nous rentrons les paramètres de la structure, taille des barre,section. Donc dans ce cas, nous avons la barre 2 qui égale 20 et la barre 1,3 qui vaut . [pic 2]

Ensuite nous renseignons la position des différents noeuds. Puis nous définissons les éléments entre les noeuds s'il en existe ce qui correspond aux barres sur le schéma .

 Par la suite, il va falloir générer les différents noeuds ainsi que les éléments pour cela nous utilisons la NSET GENERATE pour les noeuds (ici nous en  avons 4 noeuds allant de 1 à 4) et ELSET GENERATE pour les éléments ( ici nous en avons 3).

Ensuite il faut définir s’il y a des noeuds qui sont encastrés (aucun degré de liberté), nous utilisons aussi la commande NSET GENERATE , et dans le cas présent il y a 3 noeuds encastrés(2,3,4).

Puis nous allons définir la force qui s’applique au noeud et nous utilisons encore la commande NSET GENERATE et donc il va générer une force que nous avons défini au noeud. Cette force est défini plus bas dans le fichier (FORCE 1,20 avec le 1 qui correspond à la direction selon X (2 selon y) et le 20 correspond à la force en Newton.

Enfin nous définissons la section en lui indiquant le matériaux ainsi que la forme de la section et ses dimensions grâce à la BEAM SECTION. De plus le type de matériaux aura été défini un peu plus bas avec ses différents caractéristiques (modèle de Young, coefficient de poisson). Donc notre cas, nous avons une section de rectangulaire de 2 par 2 et le matériaux utilisé est l’acier.

Théorie:

Nous avons déterminé la matrice de rigidité de chaque élément du plan :

1ère barre:

[pic 3]

fig.:Matrice de rigidité de la barre 1

2ème barre:

[pic 4]

fig.:Matrice de rigidité de la barre 2

3ème barre:

[pic 5]

fig.:Matrice de rigidité de la barre 3

Maintenant nous allons assembler toutes ces matrices de rigidité afin d’avoir la matrice de rigidité de l’ensemble:

[pic 6]

fig.:Matrice de rigidité du  treillis plan.

Nous allons appliquer les conditions limites à cette matrice de raideur, nous savons que les noeuds 2,3,4 sont encastrés ainsi ils n’ont pas de déplacement dans les directions x et y donc . [pic 7]

De plus nous savons que[pic 8]

Ainsi avec ces conditions limites nous pouvons déterminer les différentes inconnues du système à partir de la matrice:

[pic 9]

fig.:Matrice de rigidité du  treillis triangle avec les CI.

 [pic 10]

[pic 11]

 [pic 12]

 [pic 13]

 [pic 14]

 [pic 15]

 [pic 16]

 [pic 17]

 [pic 18]

Ensuite nous étudions  et comme nous connaissons ces 2 valeurs grâce aux conditions limites, nous avons donc:[pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Application numérique:

Nous avons:

[pic 23]

 [pic 24]

[pic 25]

 [pic 26]

 [pic 27]

 [pic 28]

 [pic 29]

 [pic 30]

 [pic 31]

 [pic 32]

Ici nous observons qu’il n’y a pas de force de réaction au noeud 2 selon x et y. Nous pouvons donc en conclure que la barre 2 sert à rien dans ce cas.

Abaqus:

Après avoir lancer l'exécution sur Abaqus, nous avons récupérons des résultats et à partir gnuplot sur linux nous allons tracer des graphes des forces de réaction et des déplacements aux différents noeuds.

[pic 33]

fig.3:Forces de réaction en y

D'après le graphe, nous avons la force de réaction au noeud 1 et 2 qui  vaut 0 N en y. Ensuite au noeud 3 et 4 ces forces de réaction sont opposées et valent 10 N au noeud 3 et donc -10 N au noeud 4 toujours selon y.

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