APPROXIMATION DES SYSTEMES CONTINUS PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

APPROXIMATION DES SYSTEMES CONTINUS PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

1. Introduction

La méthode des éléments finis nécessite l'application d'un principe variationnel afin d'écrire  les équations du problème sous une forme qui se prête au développement systématique de l'approximation du problème continu par un système discret.

2. La méthode des éléments finis dans le cas d'une barre en traction compression

2.1. Discrétisation en EF (élément barre 1D)

Dans la méthode de Rayleigh-Ritz les coordonnées généralisées [pic 1] n'ont pas toujours une interprétation physique. Les fonctions d'interpolation [pic 2] peuvent être quelconques et sont définies sur tout le domaine.

La méthode des éléments finis est un cas particulier de la méthode Rayleigh-Ritz où tout d'abord le domaine est maillé en éléments. L'approximation est ensuite définie au niveau élémentaire de sorte que les coordonnées généralisées coïncident avec les déplacements nodaux. Les fonctions d'interpolation sont ainsi définies par leurs restrictions aux éléments.

2.2. Génération des matrices élémentaires

[pic 3]

[pic 4][pic 5]

[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12][pic 13][pic 14]

Figure 4.1: Représentation d'un élément de la barre en traction-compression

La poutre est maillée en [pic 15] éléments. La configuration géométrique d'un élément est définie par ses deux noeuds d'extrémité notés 1 et 2, figure 4.1. Appelons [pic 16]le champ de déplacement restreint à l'élément e  et [pic 17], [pic 18] les déplacements axiaux des deux nœuds d'extrémité. Choisissons des fonctions d'interpolation [pic 19] et [pic 20] (appelées dans le cadre de la méthode des éléments finis fonctions de forme) de sorte que

[pic 21]

                                                                                        (4.1)

[pic 22],  [pic 23]

Un choix possible est

[pic 24] , [pic 25]                                                                (4.2)

L'origine de x est l'extrémité gauche (notée 1) de l'élément et [pic 26] représente la longueur de l'élément.

Insistons à ce stade sur le fait que les fonctions de forme choisies ici constituent une bonne solution d'interpolation. Dans le cas général, il est indispensable de répondre à certains critères de continuité et de complétude. La convergence de la méthode dépend crucialement du choix des fonctions de forme.

Le déplacement élémentaire s'écrit alors

[pic 27]                                                                (4.3)

Les matrices de masse et de raideur associées sont

2-2-1 : Matrice de Masse

L’énergie cinétique de l’élément fini s’écrit :

[pic 28]                                                                                              (4.4)

Après développement on écrit la formule sous forme matricielle :

[pic 29]                                                                   (4.5)

Avec     [pic 30]          Matrice de Masse élémentaire

2-2-2 : Matrice de Raideur

L’énergie potentielle  de l’élément fini s’écrit :

[pic 31]                                                                                               (4.6)

Après développement, on trouve :

[pic 32]                                                                     (4.7)

Avec     [pic 33]       Matrice de raideur élémentaire

2.3. Equation du mouvement

Les équations du mouvement de l’élément fini sont les équations de Lagrange (Li) :

(Li)              [pic 34]              Pour i=1,2                          (4.8)

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