TD EXCEL : Comparaison d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique.

TD EXCEL : Comparaison d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique

Dette à intérêts simples ou à intérêts composés Une petite entreprise est débitrice d’une somme de 8700 €. Connaissant des difficultés passagères de trésorerie, elle a recourt à un emprunt d’un an. Pour des emprunts à court terme (moins d’un an), le calcul des intérêts se fait généralement selon le système des « intérêts simples » calculés sur la seule base du montant emprunté. Sur le moyen et long terme (plus d’un an), le calcul des intérêts se fait plutôt selon le système des « intérêts composés » calculés sur la base du montant emprunté et des intérêts de la période précédente.

A. Suite arithmétique et suite géométrique On suppose que le taux mensuel est de 0,40 %. Préparer une feuille de calcul selon l’image d’écran ci-contre. Les cellules B2 et D2 sont au Format Pourcentage avec 3 décimales et la plage de B5 à E17 est au Format Comptabilité. Entrer en C5 la dette initiale 8700 €. Entrer en B6 la formule =C$5*B$2 puis en C6 la formule =C5+B6. Sélectionner les cellules B6 et C6 puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 17. a) Quelle est la nature de la suite contenue dans la colonne C ? Justifier que la dette aurait pu être calculée en entrant en C6 la formule =C$5+A6*B6 puis en la recopiant vers le bas. Entrer en E5 la dette initiale 8700 €. Entrer en D6 la formule =E5*D$2 puis en E6 la formule =E5+D6. Sélectionner les cellules D6 et E6 puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 17. b) Par rapport à la formule =C$5*B$2 entrée en B6, la formule =E5*D$2 entrée en D6 contient une référence de ligne relative. Quel est l’effet de cette modification sur le calcul des intérêts en colonne D ? c) Quelle est la nature de la suite contenue dans la colonne E ? Justifier que la dette aurait pu être calculée en entrant en E6 la formule =E$5*(1+D$2)^A6 puis en la recopiant vers le bas.

B. Calcul du taux annuel Mettre les cellules B19 et D19 au Format Pourcentage avec 3 décimales. Pour calculer le taux annuel de l’emprunt à intérêts simples, entrer en B19 la formule =(C17-C5)/C5 . a) Selon quelle expression du cours a été calculé en B19 l’intérêt annuel ? Quelle autre formule, plus simple, aurait-on pu introduire en B19 ? Pour calculer le taux annuel de l’emprunt à intérêts composés, entrer en D19 la formule =(E17-E5)/E5. b) Vérifier que l’on obtient la même réponse en entrant en E19 la formule =(1+D2)^12-1 . Justifier. c) En utilisant l’approximation affine (1 + x) 12 1 + 12x pour x proche de 0, justifier que le taux annuel à intérêts composés est ici assez proche du taux annuel à intérêts simples.

C. Calcul du taux mensuel On considère à présent la situation où le taux annuel serait, dans les deux cas, t = 5 %. Dans le cas des intérêts simples, vérifier que l’on peut entrer en B2 la formule =0,05/12 . a) Quel est le taux mensuel correspondant à un taux annuel de 5 % à intérêts simples ? Justifier l’expression « taux proportionnel mensuel » utilisée à son propos. Dans le cas des intérêts composés, on recherche le « taux mensuel équivalent » à un taux annuel t. b) En modifiant le contenu de la cellule D2, pourquoi peut-on affirmer que le taux mensuel équivalent est compris entre 0,407 % et 0,408 % ?

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