Suites numériques 1ère Spe

1Suites numériques I- Généralités 1-) Définition et notationsDéfinition 1 : Une suite numériqueu est une fonction de ℕ dans ℝ. Notations et vocabulaire : : uℕ ℝ( )nn u n u֏. -On utilise habituellement les lettres u, v et w pour désigner une suite. -La suite u se note également nnuℕ ou 0nnu ou nu, qui est la notation la plus utilisée. -On note nu au lieu de ( )u n l’image de l’entier n par la suite u. nu se lit « u indice n ». -On dit que nu est le terme général de la suite nu, le terme de rangn ou le terme d’indicen. -0u est le terme initial (ou premier terme) de la suite. Exemples : 1.Soit nnuℕ la suite définie par 2nu n. Le terme d’indice 2 est 24u, le terme de rang 6 est 636u. Par contre, le deuxième terme de la suite est 11u (puisque le premier terme est 00u). 2.La suite nv des nombres impairs a pour terme général 2 1nv n  pour tout nℕ. 3.Soit w la suite définie par 1nnwn. Cette suite est définie pour tout entier 2n. Le terme initial de cette suite est 22w et le troisième terme de cette suite est le terme d’indice 4 : 443w. Remarques :1.Ne pas confondre la suite nu qui est une fonction et le terme nu qui est un réel. 2.Une suite peut être définie qu’à partir d’un certain rang 0n, on la note alors 0nn nu et son terme initial est 0nu. C’est le cas de la suite w dans l’exemple précédent. Dans tous les cas, une suite a une infinité de termes. 3.Le nième terme de la suite n’est pas nécessairement le terme d’indice n; cela dépend de l’indice du terme initial. 4.Pour une suite u, le terme suivant nu est 1nu et le terme précédent nu est 1nu. 5.Attention !! il ne faut pas confondre 1nu qui est le terme d’indice 1n et 1nu qui est la somme de 1 et du terme d’indice n.

22-) Modes de génération d’une suite Il y a deux procédés usuels pour définir une suite : a-) Par une définition explicite du terme d’indice n Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer directement chaque terme d’indice n à partir de son rang n, indépendamment des autres termes. Exemples : 1.Soit 1nnula suite définie par 1nu n. Alors 5050 149 7u . 2.Soit t la suite de terme général 3511nntn pour tout nℕ. Alors 133 13 5 34 1713 1124 12t . 3.Soit nnvℕ la suite définie par 1nnvn  . Alors 2002001200 201v . Dans les deux premiers exemples, le terme général de la suite est l’image de l’entier n par une fonction usuelle dont l’ensemble de définition contient au moins un intervalle du type  ;a  où aℝ : Ainsi, on a : • ( )nu f n avec f définie par 1x x֏ sur 1 ; . • ( )nt g n avec g définie par 3511xxx֏ sur 11 ℝ qui contient 0 ; . De manière générale, si f est une fonction définie sur un ensemble contenant au moins un intervalle du type  ;a  où aℝ, on définit une suite nu associée à f, en posant ( )nu f n pour tout entier n a. ( )Représentation graphique d une suite définie parnu = f n Dans un repère du plan, on peut représenter cette suite nu à partir de la courbe représentative fC de la fonction f en plaçant les points nM de fC d’abscisse noù nℕ avec n a. Les termes de la suite nu sont les ordonnées des points nM. Exemple : Soit f la fonction 22326 11x xxx x  ֏ définie sur ℝ. On définit la suite w sur ℕ par ( )nw f n. On a : 0211w , 113w, 283w, 38w, 4263w, ... Sur l’axe des ordonnées, on peut lire 0w, 1w, 2w,... 2 3 4 5 6 7 823456789-1-20 11xyfC

3b-) Par récurrence La suite nu peut être définie également par les données : • d’une condition initiale c’est-à-dire la valeur du premier terme de la suite ; • d’une expression du terme général de la suite en fonction du terme qui le précède. On dit que la suite est définie par unerelation de récurrence (du premier ordre).Exemples : 1.Soit v la suite définie par 02v et 213nnv v   pour tout nℕ. Cette suite est définie sur ℕ par la relation de récurrence 1( )nnv g v où g est la fonction 23x x ֏définie sur ℝ, et par la donnée du premier terme de la suite 0v. 221032 31v v       , 2221313 2v v       , ... En fait, cette suite vaut alternativement 2 et 1. On dit que nv est une suite périodique de période 2. 2.Soit nt la suite définie par 02t  et 123nnt t   pour tout nℕ. Cette suite est définie sur ℕ par la relation de récurrence 1( )nnt h t où h est la fonction 23x x ֏définie sur ℝ, et par la donnée du premier terme de la suite 0t. 10232 2 3 1t t       , 21232 1 35t t        , ...Remarques : 1.Lorsqu’une suite est définie par récurrence, pour calculer un terme, il faut avoir déterminé tous ses précédents. 2.La donnée de 0u et d’une relation de récurrence ne détermine toujours pas une suite : Considérons la suite nu définie par 025u et 11nnu u. On a : 101 4u u  , 211 1u u  , 321 0u u  , 4311u u  . On ne peut pas calculer 5u ! De manière générale, si f est une fonction définie sur un intervalle I, telle que, pour tout réel x I, ( )f x I (on dit que l’intervalle I est stable par f), on peut alors définir une suite nu associée à f par la donnée de 0u (0u I) , et de la relation de récurrence 1( )nnu f u. En effet, on a : 0121......ffffffnnu u uu u֏ ֏ ֏ ֏ ֏ ֏. Pour effectuer les calculs des termes de proche en proche, tous doivent être dans l’intervalle I. Cette condition est réalisée si l’image par la fonction f de tout réel de I est dans I. On écrit ( )f I I.

4Exemple : Soit nx la suite définie par 01x et 12nnx x pour tout nℕ. Cette suite est définie sur ℕ par la relation de récurrence 1( )nnx f x où f est la fonction 2x x֏définie sur ℝ et par la donnée du premier terme de la suite 0xℝ. La fonction f est croissante sur ℝ comme somme de la fonction racine carrée qui est croissante sur ℝ et de la constante 2. Soit xℝ, alors 0x et donc ( )(0)( ) 2f x ff x. Par conséquent, ( )f xℝ. La suite nx est bien définie : 102 3x x , 2123 2x x ,

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