Résolution d'une équation second degrés

I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,

s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0

Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.

Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.

• En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.

Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

• Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.

Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,

ax²+ bx + c = 0 avec a≠0

procédure

On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :

Exemples :

a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.

Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ

b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;

Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.

Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

Calcul de ces solutions :

donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6

III. CAS PARTICULIERS

Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ

Exemple 1:

x² - 5x = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre x² - 5x.

x² - 5x = x(x - 5) quelle que soit la valeur donnée à x

donc les solutions de x² - 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x - 5) = 0

On dit que les équations x² - 5x = 0 et x(x - 5) = 0 sont équivalentes.

On peut alors appliquer le théorème d'un produit de facteurs égal à 0

'L'un des facteurs est nul'

donc x = 0 ou x - 5 = 0 et il n'y a pas d'autre solution.

Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l'équation x² - 5x = 0

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