Polynome Du Second Degré

1. Polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :

P(x)=ax2+bx+c

où a, b et c sont des réels avec a ≠0

Exemples

P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré.

P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine)

P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :

P(x)=a(x−α)2+ β

avec α=−b2a et β=P(α)

Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme P.

2. Équations du second degré

Définition

On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0

Définition

On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre :

Δ=b2−4ac

Remarque

Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" !

Théorème

Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1=−b−√Δ2a et x2=−b+√Δ2a

Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0=−b2a

Si Δ < 0, le polynôme P n'admet aucune racine réelle.

Exemples

P1(x)=−x2+3x−2

Δ=9−4×(−1)×(−2)=1

P1 possède 2 racines :

x1=−3−1−2=2 et x2=−3+1−2=1

P2(x)=x2−4x+4

Δ=16−4×1×4=0

P2 possède une seule racine :

x0=−−42=2

P3(x)=x2+x+1

Δ=1−4×1×1=−3

P3 ne possède aucune racine.

3. Inéquations du second degré

Théorème

Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant Δ

Si Δ > 0 : P(x) est du signe de a à l'extérieur des racines (c'est à dire si x < x1 ou x > x2 ) et du signe opposé entre les racines (si x1 < x < x2)

Si Δ=0 : P(x) est toujours du signe de a sauf en x0 (où il s'annule).

Si

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