Fonctions polynômes du second degré

I Fonctions polynômes du second degré

I.1 Forme développée

Définition I-1 :

Une fonction polynôme du second degré (ou de degré 2) est une fonction f définie sur R par

Les réelsf(x) = axa2,+b etbxc+sont appelés lesc où a, b et c sont trois nombres réels donnés aveccoefficients de la fonction f. a = 0.6

La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de la fonction f.

Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

Exemples :

• Sic = 68.f(x) = 4x2 − 32x + 68, f est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 4, b = −32 et

••• Sion aSi hg((xxh) =) =(x) =−−(xx−2+1)(+ 3x22,+ 2+3g est une fonction polynôme de degré 2 avecx, h+ 1) + 3 =est une fonction polynôme du second degré. En effet, en développant,2 −2,xk2n’est pas une fonction polynôme de degré 2. En effet,− 2x + 2. Ainsi a = −1, ba==−−21et, bc= 0= 2.et 2c = 3.

En revanche, si k(x) = (x+1) −+ 1x et k(x) ne peut pas s’écrire sous la forme ax + bx + c en développant, on a k(x) = 2x avec a = 0.6

Remarque :

La forme développée d’une fonction trinôme du second degré f permet facilement de :

– calculer l’image de 0 par la fonction f (effectivement, f(0) = c);

– déterminer les antécédents du nombre c par la fonction f (en résolvant l’équation f(x) = c qui est très simple puisque c’est une équation-produit).

I.2 Forme canonique Propriété I-1 :

Pour toute fonction polynômeil existe deux nombres réels2 α fetdu second degré définie surβ tels que, pour tout réel xR, on ait :par f(xf) =(x) =ax2a+(xbx−+.αc)2avec+ β.a 6= 0,

La forme a(x −etα)β+sont tels queβ est appelée laf(α) =forme canoniqueβ. de la fonction trinôme f

Les nombres α

1. Mohammed Al Khwarizmi est un mathématicien, astronome, astrologue et géographe perse. Il décrit les méthodes de résolution des équations du premier et du second degré en les séparant en plusieurs cas. Il en fait état dans son ouvrage Kitab al jabr ... , qui a donné son nom au mot algèbre. Il est aussi à l’origine du mot algorithme grâce à son livre Algoritmi qui explique le maniement de la numération indienne.

I. FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

Exemple :

Soit f la fonction trinôme du second degré définie sur R par f(x) = 4x2 − 32x + 70.

En factorisant les deux premiers termes contenant x par 4 (coefficient du terme de degré 2), on obtient : f(x) = 4(x2 − 8x) + 70. 2

x2 −8x peut maintenant être identifié au début du développement de (2 2 2 2 x−4) . En effet, grâce aux identités remarquables, on a : (x − 4) = x − 2 × x × 4 + 4 = x − 8x + 16.

Ainsi,

...