PRODUIT SCALAIRE, ORTHOGONALITE, DISTANCES

PRODUIT SCALAIRE, ORTHOGONALITE, DISTANCES

1-Différentes expressions du produit scalaire :

Soit A, B et C trois points de l'espace , ⃗u=⃗AB et ⃗v=⃗AC .

Alors le produit scalaire u.⃗ ⃗v est le produit scalaire AB⃗ . AC⃗ calculé dans le

plan défini par A , B et C .

On a alors u.⃗ ⃗v=AB. AC . cos(BAC ) .

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Expression à l'aide du projeté orthogonal :

⃗u.⃗v=⃗OA.⃗OH .

Expression dans un repère orthonormé : Si ⃗u a pour coordonnées (x , y ,z) et

⃗v a pour coordonnées (x ' , y ' ,z') alors on a ⃗u.⃗v=x x '+y y '+z z' .

Identité de polarisation: ⃗u.⃗v=

1

2

(∥⃗u+v∥

2

−∥⃗u∥

2−∥⃗v∥

2

) .

On rappelle la définition : ∥⃗u∥=√ x

2+y

2+z

2

.

Démonstration de l'identité de polarisation : On a

1

2

(∥⃗u+v∥

2

−∥⃗u∥

2−∥⃗v∥

2

)=

1

2

(( x+x ' )

2+( y+y ')

2+(z+z')

2−x

2−y

2−z

2−x '

2−y '

2−z'

2

)

d'où le résultat par simplification.2-Vecteur normal à un plan :

Un vecteur non nul est normal à un plan (P )s'il est vecteur directeur d'une droite (d )

orthogonale à (P ).

Propriétés : Un vecteur ⃗n est normal au plan(P) si et seulement si il est orthogonal à

deux vecteurs non colinéaires du plan(P).

Équation cartésienne d'un plan :

Si (P) a pour vecteur normal ⃗n(a ,b , c) alors son équation cartésienne est de la

...