Orthogonalité et distances dans l’espace

Orthogonalité et distances dans l’espace

I. RAPPELS DE PREMIERE (produit scalaire dans le plan) :

1. Expression du produit scalaire de deux vecteurs non nuls →u et →v :

a) Cas particuliers

 Cas où →u et →v sont colinéaires :

 Cas où →u et →v sont orthogonaux :

Si les vecteurs →u et →v sont orthogonaux alors →u . →v = 0

Rappel :

b) Cas général : 4 expressions

 à l'aide de projections orthogonales :

 à l'aide de longueurs et d'angles :

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵  𝐴𝐶  cos𝐵𝐴𝐶 ̂ →u .→v = ||→u ||  ||→v ||  cos (→u ;→v )

 à l'aide de trois longueurs

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =

1

2

(𝐴𝐵

2 + 𝐴𝐶

2 − 𝐵𝐶

2

) →u .→v =

1

2

( ||→u ||² + ||→v ||² − ||→u −→v ||² )

• à l'aide de coordonnées :

Dans une base orthonormale, les vecteurs 𝑢⃗ (

𝑥

𝑦

) et 𝑣 (

𝑥′

𝑦′

) ont pour produit scalaire : 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥𝑥

′ + 𝑦𝑦′

2. Règles de calcul : Soient →u , →v et →w trois vecteurs et k un réel

• →u .→v = →v .→u

• →u . (→v + →w) = →u .→v + →u .→w

• →u . (k→v ) = k (→u .→v )

• (→u + →v )² = →u ² + →v ² + 2 →u .→v

• (→u − →v )² = →u ² + →v ² − 2 →u .→v

• →u ² − →v ² = (→u + →v ) . (→u −→v )

3. Applications :

a) dans un triangle :

Théorème d'Al Kashi : a² = b² + c² - 2 bc cos Â

b) droites et cercles :

Soient A et B deux points distincts et →n un vecteur non nul.

 L'ensemble des points M du plan vérifiant :

• AB ⎯→ . →n = 0 est la droite passant par A et de vecteur normal →n .

• MA ⎯→ . MB ⎯→ = 0 est le cercle

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